2. (5 puntos) Si la función de costo marginal para la producción es \[ y^{\prime}=2+60 x-5 x^{2} \] Si el costo fijo es U\$65. Hallar la función costo total y costo promedio.

Para encontrar la función de costo total, necesitamos integrar la función de costo marginal. La integración de \( y^{\prime} = 2 + 60x - 5x^2 \) da como resultado: \[ y = 2x + 30x^2 - \frac{5}{3}x^3 + C \] Aquí, \( C \) es la constante de integración que se determinará utilizando el costo fijo. Dado que el costo fijo es U\$65, cuando \( x = 0 \), \( y(0) = 65 \): \[ 65 = 2(0) + 30(0)^2 - \frac{5}{3}(0)^3 + C \Rightarrow C = 65 \] Así que la función de costo total es: \[ y = 2x + 30x^2 - \frac{5}{3}x^3 + 65 \] Para hallar el costo promedio, simplemente dividimos la función de costo total entre \( x \): \[ C(x) = \frac{y}{x} = \frac{2x + 30x^2 - \frac{5}{3}x^3 + 65}{x} = 2 + 30x - \frac{5}{3}x^2 + \frac{65}{x} \] ¡Listo! Ahí tienes la función de costo total y el costo promedio.