n Kapital von \( 2500 € \) ist in 4 Jahren auf \( 2868,80 € \) angewachsen. Nach wie vielen Jahren ären bei gleich bleibender Bedingungen \( 5000 € \) auf dem Konto, wann \( 10000 € \) ?

1. Zuerst betrachten wir das Wachstum des Kapitals in 4 Jahren: \[ 2500 \cdot (1+r)^4 = 2868,80 \] Daraus folgt: \[ (1+r)^4 = \frac{2868,80}{2500} = 1,14752 \] 2. Um den jährlichen Wachstumsfaktor \(1+r\) zu ermitteln, ziehen wir die 4. Wurzel: \[ 1+r = \sqrt[4]{1,14752} \approx 1,0349 \] Somit beträgt der Zinssatz ungefähr \( r \approx 3,49\% \) pro Jahr. 3. Für \( 5000 \,€ \): Das Konto soll von \( 2500 \,€ \) auf \( 5000 \,€ \) anwachsen. Wir lösen: \[ 2500 \cdot (1,0349)^t = 5000 \] Dividieren wir beide Seiten durch \( 2500 \): \[ (1,0349)^t = 2 \] Um \( t \) zu bestimmen, nehmen wir den natürlichen Logarithmus: \[ t = \frac{\ln(2)}{\ln(1,0349)} \] Setzen wir die Werte ein: \[ t \approx \frac{0,6931}{0,0343} \approx 20,20 \, \text{Jahre} \] 4. Für \( 10000 \,€ \): Das Konto soll von \( 2500 \,€ \) auf \( 10000 \,€ \) anwachsen. Wir haben: \[ 2500 \cdot (1,0349)^t = 10000 \] Dividieren wir durch \( 2500 \): \[ (1,0349)^t = 4 \] Auch hier nehmen wir den natürlichen Logarithmus: \[ t = \frac{\ln(4)}{\ln(1,0349)} \] Da \( \ln(4) = 2\ln(2) \approx 1,3863 \), erhalten wir: \[ t \approx \frac{1,3863}{0,0343} \approx 40,40 \, \text{Jahre} \] Zusammenfassung: - \( 5000 \,€ \) werden in etwa \( 20,2 \) Jahren erreicht. - \( 10000 \,€ \) werden in etwa \( 40,4 \) Jahren erreicht.