Pour les exercices 49 à 54 , calculer la dérivée de la fonction \( f \). (49) \( f(x)=\frac{2 x}{x^{2}+1} \). (50) \( f(x)=x^{2}(\sqrt{x}+1) \). 51. \( f(x)=\frac{1}{+}+2 \sqrt{x}-1 \).

Pour la fonction \( f(x)=\frac{2 x}{x^{2}+1} \), la dérivée se calcule en utilisant la règle du quotient. On obtient \( f'(x) = \frac{(2)(x^{2}+1) - (2x)(2x)}{(x^{2}+1)^2} = \frac{2 - 2x^2}{(x^{2}+1)^2} \). Pour \( f(x) = x^{2}(\sqrt{x}+1) \), on applique la règle du produit. La dérivée est \( f'(x) = 2x(\sqrt{x}+1) + x^{2}\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right) = 2x\sqrt{x} + 2x + \frac{x^{3/2}}{2} \). Enfin, pour \( f(x)=\frac{1}{+}+2\sqrt{x}-1 \), en dérivant, on obtient \( f'(x) = 0 + \frac{2}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}} \).