Ejercitación 1. Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos de los triángulos rectangulos $$ A B C $$ tales que: a. $$ \mathrm{m} \Varangle A=90^{\circ}, b=10 \mathrm{~cm} y c=12 \mathrm{~cm} $$ b. $$ \mathrm{m} \Varangle B=90^{\circ}, b=15 \mathrm{~cm} y c=12 \mathrm{~cm} $$ c. $$ \mathrm{m} \Varangle C=90^{\circ}, a=15 \mathrm{~cm} y c=25 \mathrm{~cm} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Para calcular las razones trigonométricas de los ángulos agudos de los triángulos rectángulos dados, utilizaremos las definiciones de seno, coseno y tangente. Recordemos que en un triángulo rectángulo:

- $$ \sin(A) = \frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}} $$
- $$ \cos(A) = \frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}} $$
- $$ \tan(A) = \frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}} $$

Donde:
- $$ A $$ es uno de los ángulos agudos.
- La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto.
- El lado opuesto es el lado opuesto al ángulo que estamos considerando.
- El lado adyacente es el lado que forma el ángulo junto con la hipotenusa.

### a. $$ \mathrm{m} \Varangle A=90^{\circ}, b=10 \mathrm{~cm} $$ y $$ c=12 \mathrm{~cm} $$

Aquí, $$ c $$ es la hipotenusa y $$ b $$ es uno de los catetos. Para encontrar el otro cateto $$ a $$, utilizamos el teorema de Pitágoras:

$$
c^2 = a^2 + b^2
$$

Sustituyendo los valores:

$$
12^2 = a^2 + 10^2
$$

Calculamos:

$$
144 = a^2 + 100
$$
$$
a^2 = 144 - 100 = 44
$$
$$
a = \sqrt{44} = 2\sqrt{11} \approx 6.63 \text{ cm}
$$

Ahora calculamos las razones trigonométricas para el ángulo $$ B $$:

- $$ \sin(B) = \frac{a}{c} = \frac{2\sqrt{11}}{12} $$
- $$ \cos(B) = \frac{b}{c} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} $$
- $$ \tan(B) = \frac{a}{b} = \frac{2\sqrt{11}}{10} = \frac{\sqrt{11}}{5} $$

### b. $$ \mathrm{m} \Varangle B=90^{\circ}, b=15 \mathrm{~cm} $$ y $$ c=12 \mathrm{~cm} $$

En este caso, $$ c $$ no puede ser la hipotenusa porque es menor que $$ b $$. Por lo tanto, debemos considerar que $$ c $$ es un cateto y $$ a $$ es la hipotenusa. Usamos el teorema de Pitágoras:

$$
a^2 = b^2 + c^2
$$

Sustituyendo los valores:

$$
a^2 = 15^2 + 12^2
$$

Calculamos:

$$
a^2 = 225 + 144 = 369
$$
$$
a = \sqrt{369} \approx 19.2 \text{ cm}
$$

Ahora calculamos las razones trigonométricas para el ángulo $$ A $$:

- $$ \sin(A) = \frac{c}{a} = \frac{12}{\sqrt{369}} $$
- $$ \cos(A) = \frac{b}{a} = \frac{15}{\sqrt{369}} $$
- $$ \tan(A) = \frac{c}{b} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} $$

### c. $$ \mathrm{m} \Varangle C=90^{\circ}, a=15 \mathrm{~cm} $$ y $$ c=25 \mathrm{~cm} $$

Aquí, $$ c $$ es la hipotenusa y $$ a $$ es uno de los catetos. Para encontrar el otro cateto $$ b $$, utilizamos el teorema de Pitágoras:

$$
c^2 = a^2 + b^2
$$

Sustituyendo los valores:

$$
25^2 = 15^2 + b^2
$$

Calculamos:

$$
625 = 225 + b^2
$$
$$
b^2 = 625 - 225 = 400
$$
$$
b = \sqrt{400} = 20 \text{ cm}
$$

Ahora calculamos las razones trigonométricas para el ángulo $$ A $$:

- $$ \sin(A) = \frac{a}{c} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5} $$
- $$ \cos(A) = \frac{b}{c} = \frac{20}{25} = \frac{4}{5} $$
- $$ \tan(A) = \frac{a}{b} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4} $$

### Resumen de Resultados

1. Para el triángulo $$ A B C $$ con $$ \mathrm{m} \Varangle A=90^{\circ}, b=10 \mathrm{~cm} $$ y $$ c=12 \mathrm{~cm} $$:
   - $$ \sin(B) = \frac{2\sqrt{11}}{12} $$
   - $$ \cos(B) = \frac{5}{6} $$
   - $$ \tan(B) = \frac{\sqrt{11}}{5} $$

2. Para el triángulo $$ A B C $$ con $$ \mathrm{m} \Varangle B=90^{\circ}, b=15 \mathrm{~cm} $$ y $$ c=12 \mathrm{~cm} $$:
   - $$ \sin(A) = \frac{12}{\sqrt{369}} $$
   - $$ \cos(A) = \frac{15}{\sqrt{369}} $$
   - $$ \tan(A) = \frac{4}{5} $$

3. Para el triángulo $$ A B C $$ con $$ \mathrm{m} \Varangle C=90^{\circ}, a=15 \mathrm{~cm} $$ y $$ c=25 \mathrm{~cm} $$:
   - $$ \sin(A) = \frac{3}{5} $$
   - $$ \cos(A) = \frac{4}{5} $$
   - $$ \tan(A) = \frac{3}{4} $$
Para los triángulos rectángulos dados, las razones trigonométricas de los ángulos agudos son: a. $$ \sin(B) = \frac{2\sqrt{11}}{12} $$, $$ \cos(B) = \frac{5}{6} $$, $$ \tan(B) = \frac{\sqrt{11}}{5} $$ b. $$ \sin(A) = \frac{12}{\sqrt{369}} $$, $$ \cos(A) = \frac{15}{\sqrt{369}} $$, $$ \tan(A) = \frac{4}{5} $$ c. $$ \sin(A) = \frac{3}{5} $$, $$ \cos(A) = \frac{4}{5} $$, $$ \tan(A) = \frac{3}{4} $$

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Beyond the Answer

Related Questions

Latest Trigonometry Questions