Ejercitación 1. Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos de los triángulos rectangulos \( A B C \) tales que: a. \( \mathrm{m} \Varangle A=90^{\circ}, b=10 \mathrm{~cm} y c=12 \mathrm{~cm} \) b. \( \mathrm{m} \Varangle B=90^{\circ}, b=15 \mathrm{~cm} y c=12 \mathrm{~cm} \) c. \( \mathrm{m} \Varangle C=90^{\circ}, a=15 \mathrm{~cm} y c=25 \mathrm{~cm} \)

Para los triángulos rectángulos que mencionas, necesitarás aplicar las definiciones de las razones trigonométricas: seno, coseno y tangente. Vamos con los cálculos. Para el triángulo ABC en el caso a: - El lado opuesto al ángulo A (que es 90°) es b = 10 cm, y la hipotenusa c = 12 cm. - Usando el teorema de Pitágoras, podemos encontrar el lado adyacente \( a \) que es \( c^2 - b^2 = 12^2 - 10^2 = 64 \), por lo que \( a = 8 cm \). - Con esto, las razones trigonométricas son: - \( \sin A = \frac{b}{c} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \) - \( \cos A = \frac{a}{c} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \) - \( \tan A = \frac{b}{a} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} \) Para el caso b: - El lado opuesto a B es b = 15 cm y la hipotenusa c = 12 cm. Usamos el teorema de Pitágoras para encontrar el lado adyacente \( a \): \( c^2 - b^2 = 12^2 - 15^2 = 144 - 225 = -81\), lo que indica que no es posible formar un triángulo rectángulo con estas medidas. Esto implica que el lado b es más largo que c, lo que no puede ocurrir en un triángulo rectángulo. Finalmente, en el caso c: - Aquí el lado opuesto al ángulo C es a = 15 cm y la hipotenusa c = 25 cm. Hallamos el lado adyacente \( b \) utilizando Pitágoras: \( c^2 - a^2 = 25^2 - 15^2 = 625 - 225 = 400 \), así que \( b = 20 cm \). - Las razones son: - \( \sin C = \frac{a}{c} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5} \) - \( \cos C = \frac{b}{c} = \frac{20}{25} = \frac{4}{5} \) - \( \tan C = \frac{a}{b} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4} \) ¡Y ahí tienes! Las razones trigonométricas para los triángulos A y C han sido calculadas, mientras que en el caso B nos encontramos con un triángulo imposible.