a) $$ z=\ln \left(\frac{x}{y}\right)+x y^{2} $$

Question

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Consideramos la función  
$$
z=\ln \left(\frac{x}{y}\right)+x\,y^{2}.
$$

Primero, reescribimos el término logarítmico utilizando la propiedad de logaritmos:  
$$
\ln \left(\frac{x}{y}\right)=\ln x-\ln y.
$$

Por lo tanto, la función se puede expresar como  
$$
z=\ln x-\ln y+x\,y^{2}.
$$

A continuación, calcularemos las derivadas parciales respecto a $$x$$ y a $$y$$.

### Derivada parcial con respecto a $$x$$

Al diferenciar $$z$$ respecto a $$x$$, consideramos a $$y$$ como una constante.

1. La derivada de $$\ln x$$ es $$\frac{1}{x}$$.
2. La derivada de $$-\ln y$$ es $$0$$ (ya que $$y$$ es constante).
3. La derivada de $$x\,y^{2}$$ es $$y^{2}$$, pues $$y^{2}$$ se comporta como constante al diferenciar respecto a $$x$$.

Uniendo estos resultados, tenemos:  
$$
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{x}+y^{2}.
$$

### Derivada parcial con respecto a $$y$$

Ahora, al derivar $$z$$ respecto a $$y$$, consideramos a $$x$$ como constante.

1. La derivada de $$\ln x$$ es $$0$$ (ya que $$x$$ es constante).
2. La derivada de $$-\ln y$$ es $$-\frac{1}{y}$$.
3. Para $$x\,y^{2}$$, $$x$$ es constante y la derivada de $$y^{2}$$ es $$2y$$; por lo tanto, la derivada es $$2xy$$.

Uniendo estos resultados, obtenemos:  
$$
\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{1}{y}+2xy.
$$

### Resultados Finales

- Derivada parcial respecto a $$x$$:  
  $$
  \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{x}+y^{2}.
  $$

- Derivada parcial respecto a $$y$$:  
  $$
  \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{1}{y}+2xy.
  $$
Las derivadas parciales de la función $$ z=\ln \left(\frac{x}{y}\right)+x\,y^{2} $$ son: - $$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{x} + y^{2}$$ - $$\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{1}{y} + 2xy$$

a) \( z=\ln \left(\frac{x}{y}\right)+x y^{2} \)

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