a) \( z=\ln \left(\frac{x}{y}\right)+x y^{2} \)

Consideramos la función \[ z=\ln \left(\frac{x}{y}\right)+x\,y^{2}. \] Primero, reescribimos el término logarítmico utilizando la propiedad de logaritmos: \[ \ln \left(\frac{x}{y}\right)=\ln x-\ln y. \] Por lo tanto, la función se puede expresar como \[ z=\ln x-\ln y+x\,y^{2}. \] A continuación, calcularemos las derivadas parciales respecto a \(x\) y a \(y\). ### Derivada parcial con respecto a \(x\) Al diferenciar \(z\) respecto a \(x\), consideramos a \(y\) como una constante. 1. La derivada de \(\ln x\) es \(\frac{1}{x}\). 2. La derivada de \(-\ln y\) es \(0\) (ya que \(y\) es constante). 3. La derivada de \(x\,y^{2}\) es \(y^{2}\), pues \(y^{2}\) se comporta como constante al diferenciar respecto a \(x\). Uniendo estos resultados, tenemos: \[ \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{x}+y^{2}. \] ### Derivada parcial con respecto a \(y\) Ahora, al derivar \(z\) respecto a \(y\), consideramos a \(x\) como constante. 1. La derivada de \(\ln x\) es \(0\) (ya que \(x\) es constante). 2. La derivada de \(-\ln y\) es \(-\frac{1}{y}\). 3. Para \(x\,y^{2}\), \(x\) es constante y la derivada de \(y^{2}\) es \(2y\); por lo tanto, la derivada es \(2xy\). Uniendo estos resultados, obtenemos: \[ \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{1}{y}+2xy. \] ### Resultados Finales - Derivada parcial respecto a \(x\): \[ \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{x}+y^{2}. \] - Derivada parcial respecto a \(y\): \[ \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{1}{y}+2xy. \]