$$ (e^{2y}-y)\cos (x)\frac{d}{dx}(y)=e^{y}\sin (2x) $$

Question

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Consideramos la ecuación diferencial

$$
\left(e^{2y}-y\right) \cos(x) \frac{dy}{dx} = e^{y}\sin(2x).
$$

**Paso 1. Simplificar la ecuación**

Primero, despejamos la derivada dividiendo ambos lados entre $$\left(e^{2y}-y\right) \cos(x)$$ (asumiendo $$\cos(x) \neq 0$$):

$$
\frac{dy}{dx} = \frac{e^{y}\sin(2x)}{\left(e^{2y}-y\right)\cos(x)}.
$$

Utilizamos la identidad trigonométrica

$$
\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)
$$

para escribir

$$
\frac{dy}{dx} = \frac{2e^{y}\sin(x)\cos(x)}{\left(e^{2y}-y\right)\cos(x)}.
$$

Cancelamos $$\cos(x)$$ (con $$\cos(x) \neq 0$$):

$$
\frac{dy}{dx} = \frac{2e^{y}\sin(x)}{e^{2y}-y}.
$$

**Paso 2. Separar las variables**

Para separarlas, escribimos la ecuación de manera que los términos en $$y$$ queden de un lado y los de $$x$$ del otro. Multiplicamos ambos lados por la expresión $$\frac{e^{2y}-y}{e^{y}}\,dy$$ y por $$dx$$:

$$
\frac{e^{2y}-y}{e^{y}}\,dy = 2\sin(x)\,dx.
$$

Observamos que

$$
\frac{e^{2y}-y}{e^{y}} = e^{y} - \frac{y}{e^{y}}.
$$

Por lo tanto, la ecuación se escribe como

$$
\left(e^{y} - \frac{y}{e^{y}}\right) dy = 2\sin(x)\,dx.
$$

**Paso 3. Integrar ambos lados**

Integramos término a término.

Lado izquierdo:

$$
\int \left(e^{y} - \frac{y}{e^{y}}\right) dy = \int e^{y}\,dy - \int y e^{-y}\,dy.
$$

La primera integral es directa:

$$
\int e^{y}\,dy = e^{y}.
$$

Para la segunda integral $$\int y e^{-y}\,dy$$ empleamos integración por partes. Sea
$$
u = y \quad \Rightarrow \quad du = dy,
$$
$$
dv = e^{-y}\,dy \quad \Rightarrow \quad v = -e^{-y}.
$$

Entonces,

$$
\int y e^{-y}\,dy = uv - \int v\,du = -y e^{-y} - \int \left(-e^{-y}\right) dy = -y e^{-y} + \int e^{-y}\,dy.
$$

La última integral es

$$
\int e^{-y}\,dy = -e^{-y}.
$$

Con lo que obtenemos

$$
\int y e^{-y}\,dy = -y e^{-y} - e^{-y} = -(y+1)e^{-y}.
$$

Por lo tanto, la integral del lado izquierdo es

$$
e^{y} - \Bigl[-(y+1)e^{-y}\Bigr] = e^{y} + (y+1)e^{-y}.
$$

Ahora integramos el lado derecho:

$$
\int 2\sin(x)\,dx = -2\cos(x).
$$

**Paso 4. Escribir la solución general**

Juntando las dos integrales, obtenemos la solución implícita

$$
e^{y} + (y+1)e^{-y} = -2\cos(x) + C,
$$

donde $$C$$ es la constante de integración. También se puede escribir como

$$
e^{y} + (y+1)e^{-y} + 2\cos(x) = C.
$$

Esta es la solución general de la ecuación diferencial.
La solución general de la ecuación diferencial es: $$ e^{y} + (y+1)e^{-y} + 2\cos(x) = C, $$ donde $$C$$ es una constante de integración.

\( (e^{2y}-y)\cos (x)\frac{d}{dx}(y)=e^{y}\sin (2x) \)

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