Answer
**Aufgabe (d)**
Die zweite Nullstelle ist \(x_2 = 2x_S - x_1\). Es ist auffällig, dass beide Nullstellen symmetrisch zur Achse des Scheitels liegen.
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**Aufgabe 5**
Das Maximum von \(gh\) unter der Bedingung \(2g + 3h = 5\) beträgt \(\frac{25}{24}\).
Solution
**Aufgabe (d)**
Wir nehmen an, dass in Teil (c) eine quadratische Funktion der Form
\[
f(x)=ax^2+bx+c
\]
betrachtet wurde und bereits eine Nullstelle \(x_1\) gefunden wurde. Für quadratische Funktionen gilt, dass die beiden Nullstellen symmetrisch zur Achse des Scheitels liegen. Der \(x\)‑Wert des Scheitels ist
\[
x_S=-\frac{b}{2a}.
\]
Ist eine Nullstelle \(x_1\) bekannt, so liegt die zweite Nullstelle genau so weit vom Scheitel entfernt, jedoch in entgegengesetzter Richtung. Es folgt
\[
x_2=2x_S - x_1.
\]
Was dabei auffällt, ist die Symmetrie: Die Abstände \( |x_1-x_S| \) und \( |x_2-x_S| \) sind gleich. Somit liegen beide Nullstellen spiegelbildlich zur Geraden \(x=x_S\).
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**Aufgabe 5**
Gegeben ist die Nebenbedingung
\[
2g+3h=5.
\]
Wir wollen das Produkt \(gh\) maximieren.
1. **Umformung der Nebenbedingung**
Löse die Gleichung nach \(h\) auf:
\[
h=\frac{5-2g}{3}.
\]
2. **Ausdruck des Produkts**
Setze \(h\) in \(gh\) ein:
\[
P(g)=g\cdot h=g\cdot\frac{5-2g}{3}=\frac{5g-2g^2}{3}.
\]
3. **Bestimmung des Maximums**
\(P(g)\) ist eine quadratische Funktion in \(g\) der Form
\[
P(g)=\frac{-2g^2+5g}{3}.
\]
Da der quadratische Term negativ ist, besitzt \(P(g)\) ein Maximum. Der Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion \(q(g)=A g^2+B g\) liegt bei
\[
g_{\text{max}}=-\frac{B}{2A}.
\]
Hier ist \(A=-2\) und \(B=5\). Somit
\[
g_{\text{max}}=-\frac{5}{2\cdot(-2)}=\frac{5}{4}.
\]
4. **Berechnung von \(h_{\text{max}}\)**
Setze \(g_{\text{max}}=\frac{5}{4}\) in den Ausdruck für \(h\) ein:
\[
h_{\text{max}}=\frac{5-2\cdot\frac{5}{4}}{3}
=\frac{5-\frac{5}{2}}{3}
=\frac{\frac{10}{2}-\frac{5}{2}}{3}
=\frac{\frac{5}{2}}{3}
=\frac{5}{6}.
\]
5. **Berechnung des maximalen Produkts**
Setze \(g_{\text{max}}=\frac{5}{4}\) in \(P(g)\) ein:
\[
P\left(\frac{5}{4}\right)
=\frac{5\cdot\frac{5}{4}-2\left(\frac{5}{4}\right)^2}{3}.
\]
Zunächst berechnen wir die einzelnen Terme:
\[
5\cdot\frac{5}{4}=\frac{25}{4},
\]
\[
\left(\frac{5}{4}\right)^2=\frac{25}{16} \quad\text{und}\quad 2\cdot\frac{25}{16}=\frac{25}{8}.
\]
Somit
\[
P\left(\frac{5}{4}\right)
=\frac{\frac{25}{4}-\frac{25}{8}}{3}
=\frac{\frac{50}{8}-\frac{25}{8}}{3}
=\frac{\frac{25}{8}}{3}
=\frac{25}{24}.
\]
Das maximale Produkt \(gh\) unter der Nebenbedingung \(2g+3h=5\) beträgt also
\[
\frac{25}{24}.
\]
Answered by UpStudy AI and reviewed by a Professional Tutor
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