b) \( \frac{d y}{d x}=-\frac{3 y}{2 x} ; y(2)=4 \)

Para resolver la ecuación diferencial \( \frac{d y}{d x} = -\frac{3 y}{2 x} \) con la condición inicial \( y(2) = 4 \), seguiremos los siguientes pasos: 1. **Separar las variables**: Reescribimos la ecuación para que todos los términos de \( y \) estén de un lado y todos los términos de \( x \) del otro lado. \[ \frac{d y}{y} = -\frac{3}{2} \frac{d x}{x} \] 2. **Integrar ambos lados**: Integramos ambos lados de la ecuación. \[ \int \frac{d y}{y} = -\frac{3}{2} \int \frac{d x}{x} \] Esto nos da: \[ \ln |y| = -\frac{3}{2} \ln |x| + C \] donde \( C \) es la constante de integración. 3. **Simplificar la expresión**: Usamos propiedades de los logaritmos para simplificar la ecuación. \[ \ln |y| = \ln |x|^{-\frac{3}{2}} + C \] Exponenciamos ambos lados para eliminar el logaritmo: \[ |y| = e^C |x|^{-\frac{3}{2}} \] Definimos \( k = e^C \), donde \( k \) es una constante positiva: \[ y = k x^{-\frac{3}{2}} \] 4. **Aplicar la condición inicial**: Usamos la condición inicial \( y(2) = 4 \) para encontrar el valor de \( k \). \[ 4 = k (2)^{-\frac{3}{2}} \] Calculamos \( (2)^{-\frac{3}{2}} \): \[ (2)^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{(2^{\frac{3}{2}})} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} \] Sustituyendo en la ecuación: \[ 4 = k \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} \] Multiplicamos ambos lados por 4: \[ 16 = k \sqrt{2} \] Por lo tanto, \( k = \frac{16}{\sqrt{2}} = 8\sqrt{2} \). 5. **Escribir la solución final**: Sustituyendo \( k \) en la expresión de \( y \): \[ y = 8\sqrt{2} x^{-\frac{3}{2}} \] Por lo tanto, la solución de la ecuación diferencial es: \[ y = 8\sqrt{2} x^{-\frac{3}{2}} \]