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Vom Graphen einer quadratischen Funktion kennt man den Scheitel \( S \) und einen Punkt \( P \). Ermittle die Funktionsgleichung und skizziere den Graphen. \( \begin{array}{ll}\text { a) } S=(2 \mid 1), P=(1 \mid 2) & \text { b) } S=(-2 \mid-2), P=(3 \mid-27) \\ \text { c) } S=(-1 \mid 0), P=(-3 \mid-4) & \text { d) } S=(-1 \mid-2), P=(3 \mid 14)\end{array} \)

Ask by Stephens Higgins. in Austria
Mar 21,2025

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Answer

**a)** - Scheitelpunkt: \( S=(2\,|\,1) \) - Punkt: \( P=(1\,|\,2) \) - Funktionsgleichung: \( f(x)=(x-2)^2+1 \) - Parabel öffnet sich nach oben. **b)** - Scheitelpunkt: \( S=(-2\,|\,-2) \) - Punkt: \( P=(3\,|\,-27) \) - Funktionsgleichung: \( f(x)=-\,(x+2)^2-2 \) - Parabel öffnet sich nach unten. **c)** - Scheitelpunkt: \( S=(-1\,|\,0) \) - Punkt: \( P=(-3\,|\,-4) \) - Funktionsgleichung: \( f(x)=-\,(x+1)^2 \) - Parabel öffnet sich nach unten. **d)** - Scheitelpunkt: \( S=(-1\,|\,-2) \) - Punkt: \( P=(3\,|\,14) \) - Funktionsgleichung: \( f(x)=(x+1)^2-2 \) - Parabel öffnet sich nach oben. **Graphen:** - **a)** und **d)**: Parabeln öffnen sich nach oben, Scheitelpunkt \( S \) ist der tiefste Punkt. - **b)** und **c)**: Parabeln öffnen sich nach unten, Scheitelpunkt \( S \) ist der höchste Punkt. - Zeichne die Scheitelpunkte und bestimme weitere Punkte, um die Krümmung der Parabeln zu skizzieren.

Solution

**a) Gegeben:** \( S=(2\,|\,1) \), \( P=(1\,|\,2) \) 1. Schreibe die Scheitelform der Parabel: \[ f(x)=a(x-2)^2+1 \] 2. Setze den Punkt \( P \) ein (wobei \( x=1 \) und \( f(1)=2 \)): \[ 2 = a(1-2)^2+1 \] \[ 2 = a\cdot 1 + 1 \quad\Rightarrow\quad a = 2-1=1 \] 3. Die Funktionsgleichung lautet daher: \[ f(x)=(x-2)^2+1 \] --- **b) Gegeben:** \( S=(-2\,|\, -2) \), \( P=(3\,|\, -27) \) 1. Scheitelform der Parabel: \[ f(x)=a(x+2)^2-2 \] 2. Setze den Punkt \( P \) ein (\( x=3 \) und \( f(3)=-27 \)): \[ -27 = a(3+2)^2-2 \] \[ -27 = a\cdot 5^2-2 \quad\Rightarrow\quad -27 = 25a -2 \] \[ 25a = -27+2=-25 \quad\Rightarrow\quad a=-1 \] 3. Die Funktionsgleichung lautet: \[ f(x)=-\,(x+2)^2-2 \] --- **c) Gegeben:** \( S=(-1\,|\,0) \), \( P=(-3\,|\, -4) \) 1. Scheitelform der Parabel: \[ f(x)=a(x+1)^2+0 = a(x+1)^2 \] 2. Setze den Punkt \( P \) ein (\( x=-3 \) und \( f(-3)=-4 \)): \[ -4 = a(-3+1)^2 \] \[ -4 = a(-2)^2 \quad\Rightarrow\quad -4 = 4a \] \[ a=-1 \] 3. Somit ist die Funktionsgleichung: \[ f(x)=-\,(x+1)^2 \] --- **d) Gegeben:** \( S=(-1\,|\, -2) \), \( P=(3\,|\, 14) \) 1. Scheitelform der Parabel: \[ f(x)=a(x+1)^2-2 \] 2. Setze den Punkt \( P \) ein (\( x=3 \) und \( f(3)=14 \)): \[ 14 = a(3+1)^2-2 \] \[ 14 = a\cdot 4^2-2 \quad\Rightarrow\quad 14 = 16a-2 \] \[ 16a = 14+2=16 \quad\Rightarrow\quad a=1 \] 3. Die Funktionsgleichung lautet: \[ f(x)=(x+1)^2-2 \] --- **Graphskizze Hinweise:** - Für **a)** und **d)** ist \( a=1 \). Die Parabeln öffnen sich nach oben. - Für **b)** und **c)** ist \( a=-1 \). Die Parabeln öffnen sich nach unten. - Der Scheitelpunkt \( S \) ist der tiefste Punkt (bei \( a>0 \)) bzw. der höchste Punkt (bei \( a<0 \)). - Zeichne die Scheitelpunkte in ihrem Koordinatensystem und bestimme weitere Punkte, indem du Werte für \( x \) einsetzt, um die Krümmung der Parabel zu erfassen. Diese Schritte ermöglichen es, den Graphen jeder Parabel in einem Koordinatensystem zu skizzieren.

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Extra Insights

Um die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion zu ermitteln, die den Scheitelpunkt \( S(h|k) \) hat, verwenden wir die Scheitelpunktform \( f(x) = a(x - h)^2 + k \). Um den Wert von \( a \) zu finden, setzen wir den gegebenen Punkt \( P(x|y) \) ein und lösen nach \( a \) auf. ### a) \( S=(2 \mid 1), P=(1 \mid 2) \) 1. Setze die Scheitelpunktform ein: \[ f(x) = a(x - 2)^2 + 1 \] 2. Setze den Punkt \( P(1|2) \) ein: \[ 2 = a(1 - 2)^2 + 1 \\ 2 = a(1) + 1 \\ a = 1 \] 3. Die Funktionsgleichung ist: \[ f(x) = (x - 2)^2 + 1 \] ### b) \( S=(-2 \mid-2), P=(3 \mid-27) \) 1. Scheitelpunktform: \[ f(x) = a(x + 2)^2 - 2 \] 2. Punkt \( P(3|-27) \) einsetzten: \[ -27 = a(3 + 2)^2 - 2 \\ -27 = a(25) - 2 \\ a = -1 \] 3. Funktionsgleichung: \[ f(x) = -(x + 2)^2 - 2 \] ### c) \( S=(-1 \mid 0), P=(-3 \mid-4) \) 1. Scheitelpunktform: \[ f(x) = a(x + 1)^2 \] 2. Punkt \( P(-3|-4) \) einsetzten: \[ -4 = a(-3 + 1)^2 \\ -4 = a(4) \\ a = -1 \] 3. Funktionsgleichung: \[ f(x) = -(x + 1)^2 \] ### d) \( S=(-1 \mid-2), P=(3 \mid 14) \) 1. Scheitelpunktform: \[ f(x) = a(x + 1)^2 - 2 \] 2. Punkt \( P(3|14) \) einsetzten: \[ 14 = a(3 + 1)^2 - 2 \\ 14 = a(16) - 2 \\ a = 1 \] 3. Funktionsgleichung: \[ f(x) = (x + 1)^2 - 2 \] Jetzt sind die Funktionsgleichungen für alle Fälle aufgestellt! Die nächste Herausforderung? Stelle die Graphen der Funktionen skizzenhaft dar!

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