Vom Graphen einer quadratischen Funktion kennt man den Scheitel \( S \) und einen Punkt \( P \). Ermittle die Funktionsgleichung und skizziere den Graphen. \( \begin{array}{ll}\text { a) } S=(2 \mid 1), P=(1 \mid 2) & \text { b) } S=(-2 \mid-2), P=(3 \mid-27) \\ \text { c) } S=(-1 \mid 0), P=(-3 \mid-4) & \text { d) } S=(-1 \mid-2), P=(3 \mid 14)\end{array} \)
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Um die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion zu ermitteln, die den Scheitelpunkt \( S(h|k) \) hat, verwenden wir die Scheitelpunktform \( f(x) = a(x - h)^2 + k \). Um den Wert von \( a \) zu finden, setzen wir den gegebenen Punkt \( P(x|y) \) ein und lösen nach \( a \) auf. ### a) \( S=(2 \mid 1), P=(1 \mid 2) \) 1. Setze die Scheitelpunktform ein: \[ f(x) = a(x - 2)^2 + 1 \] 2. Setze den Punkt \( P(1|2) \) ein: \[ 2 = a(1 - 2)^2 + 1 \\ 2 = a(1) + 1 \\ a = 1 \] 3. Die Funktionsgleichung ist: \[ f(x) = (x - 2)^2 + 1 \] ### b) \( S=(-2 \mid-2), P=(3 \mid-27) \) 1. Scheitelpunktform: \[ f(x) = a(x + 2)^2 - 2 \] 2. Punkt \( P(3|-27) \) einsetzten: \[ -27 = a(3 + 2)^2 - 2 \\ -27 = a(25) - 2 \\ a = -1 \] 3. Funktionsgleichung: \[ f(x) = -(x + 2)^2 - 2 \] ### c) \( S=(-1 \mid 0), P=(-3 \mid-4) \) 1. Scheitelpunktform: \[ f(x) = a(x + 1)^2 \] 2. Punkt \( P(-3|-4) \) einsetzten: \[ -4 = a(-3 + 1)^2 \\ -4 = a(4) \\ a = -1 \] 3. Funktionsgleichung: \[ f(x) = -(x + 1)^2 \] ### d) \( S=(-1 \mid-2), P=(3 \mid 14) \) 1. Scheitelpunktform: \[ f(x) = a(x + 1)^2 - 2 \] 2. Punkt \( P(3|14) \) einsetzten: \[ 14 = a(3 + 1)^2 - 2 \\ 14 = a(16) - 2 \\ a = 1 \] 3. Funktionsgleichung: \[ f(x) = (x + 1)^2 - 2 \] Jetzt sind die Funktionsgleichungen für alle Fälle aufgestellt! Die nächste Herausforderung? Stelle die Graphen der Funktionen skizzenhaft dar!