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Answer
En el intervalo [2, 5], la función \( y = \frac{x^{2}}{2} - 3x \) alcanza su máximo de -2.5 en \( x = 5 \) y su mínimo de -4.5 en \( x = 3 \).
Solution
Se nos pide estudiar la función
f(x) = (½)x² – 3x
en el intervalo [2, 5]. A continuación, se muestran varios pasos de análisis: encontrar sus puntos críticos y determinar el valor máximo y mínimo absolutos sobre dicho intervalo.
1. Cálculo de la derivada para hallar puntos críticos:
f '(x) = derivada de (½)x² – 3x
= (x) – 3
Igualamos la derivada a cero:
x – 3 = 0 ⟹ x = 3
Como 3 ∈ [2, 5], x = 3 es un punto crítico.
2. Evaluación de f(x) en los extremos del intervalo y en el punto crítico:
Evaluamos en x = 2, x = 3 y x = 5:
• f(2) = (½)(2)² – 3·2
= (½)·4 – 6
= 2 – 6
= –4
• f(3) = (½)(3)² – 3·3
= (½)·9 – 9
= 4.5 – 9
= –4.5
• f(5) = (½)(5)² – 3·5
= (½)·25 – 15
= 12.5 – 15
= –2.5
3. Determinación de extremos absolutos:
– Valor mínimo absoluto:
f(3) = –4.5 es el mínimo en [2, 5].
– Valor máximo absoluto:
f(5) = –2.5 es el máximo en [2, 5].
4. Conclusión:
En el intervalo [2, 5], la función f(x) = (½)x² – 3x alcanza un valor máximo de –2.5 en x = 5 y un valor mínimo de –4.5 en x = 3.
Esta información permite comprender el comportamiento de la función en dicho intervalo.
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¡Hablemos de gráficos! La función cuadrática \( y=\frac{x^{2}}{2}-3x \) representa una parábola que se abre hacia arriba. Al trazarla en el intervalo \( [2,5] \), podrás observar su forma característica y cómo va descendiendo y luego ascendiendo. En este rango particular, la función alcanzará un valor mínimo antes de empezar a subir nuevamente. Ahora, si te animas a calcular los valores de \( y \) en esos puntos extremos, simplemente sustituye \( x \) por 2 y por 5. Así podrás averiguar exactamente qué acontece en cada uno de estos puntos en el gráfico. ¡Diviértete explorando!
