\( y=\frac{x^{2}}{2}-3 x \) en \( [2,5] \)

Se nos pide estudiar la función   f(x) = (½)x² – 3x en el intervalo [2, 5]. A continuación, se muestran varios pasos de análisis: encontrar sus puntos críticos y determinar el valor máximo y mínimo absolutos sobre dicho intervalo. 1. Cálculo de la derivada para hallar puntos críticos:   f '(x) = derivada de (½)x² – 3x       = (x) – 3 Igualamos la derivada a cero:   x – 3 = 0 ⟹ x = 3 Como 3 ∈ [2, 5], x = 3 es un punto crítico. 2. Evaluación de f(x) en los extremos del intervalo y en el punto crítico:   Evaluamos en x = 2, x = 3 y x = 5:   • f(2) = (½)(2)² – 3·2      = (½)·4 – 6      = 2 – 6      = –4   • f(3) = (½)(3)² – 3·3      = (½)·9 – 9      = 4.5 – 9      = –4.5   • f(5) = (½)(5)² – 3·5      = (½)·25 – 15      = 12.5 – 15      = –2.5 3. Determinación de extremos absolutos:   – Valor mínimo absoluto:     f(3) = –4.5 es el mínimo en [2, 5].   – Valor máximo absoluto:     f(5) = –2.5 es el máximo en [2, 5]. 4. Conclusión: En el intervalo [2, 5], la función f(x) = (½)x² – 3x alcanza un valor máximo de –2.5 en x = 5 y un valor mínimo de –4.5 en x = 3. Esta información permite comprender el comportamiento de la función en dicho intervalo.