4. Dibuje en el sistema de coordenadas tridimensional las componentes de los siguientes tensores de tensiones. (2.5 puntos) Nota: Dibuje en hoja milimetrada. a. $$ [\sigma]=\left[\begin{array}{ccc}5 & -1 & 6 \ -1 & -5 & -2 \ 6 & 2 & -1\end{array} ight] $$ b. $$ [\sigma]=\left[\begin{array}{ccc}-4 & 2 & -1 \ 2 & 3 & 0 \ -1 & 0 & 0\end{array} ight] $$ c. $$ [\sigma]=\left[\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 2 \ 0 & 2 & -4 \ 2 & -4 & 4\end{array} ight] $$

Question

4. Dibuje en el sistema de coordenadas tridimensional las componentes de los siguientes tensores de tensiones. (2.5 puntos) Nota: Dibuje en hoja milimetrada. a. $$ [\sigma]=\left[\begin{array}{ccc}5 & -1 & 6 \ -1 & -5 & -2 \ 6 & 2 & -1\end{array}ight] $$ b. $$ [\sigma]=\left[\begin{array}{ccc}-4 & 2 & -1 \ 2 & 3 & 0 \ -1 & 0 & 0\end{array}ight] $$ c. $$ [\sigma]=\left[\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 2 \ 0 & 2 & -4 \ 2 & -4 & 4\end{array}ight] $$

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$$
\textbf{Para cada tensor, se debe representar un elemento diferencial (un “cubito”) en el sistema de coordenadas }(x,y,z)\text{. Cada cara del cubo, que es perpendicular a uno de los ejes, tiene asociada:}
$$
  
- $$\sigma_{ii}$$ (con $$i=x,y,z$$) es la tensión normal que actúa perpendicularmente sobre la cara.
- $$\sigma_{ij}$$ (con $$i\neq j$$) son las tensiones de cizalladura, es decir, las componentes tangenciales a la cara.

A continuación se explica cómo representar cada uno de los tensores:

---

### a) Tensor
$$
[\sigma]=\begin{bmatrix} 
5 & -1 & 6 \ 
-1 & -5 & -2 \ 
6 & 2 & -1 
\end{bmatrix}
$$

1. **Dibujo del sistema y elemento:**  
   Dibuja un sistema de ejes $$x$$, $$y$$ y $$z$$ y un cubo centrado, de modo que cada cara tenga una orientación perpendicular a uno de los ejes.

2. **Componentes normales:**  
   - En la cara perpendicular al eje $$x$$ (por ejemplo, la de “$$x=\text{constante}$$” que tiene la normal en la dirección $$+x$$ o $$-x$$):  
     - $$\sigma_{xx}=5$$. Se representa con una flecha saliente (si se considera tensión positiva) en la dirección $$x$$.
   - En la cara perpendicular al eje $$y$$:  
     - $$\sigma_{yy}=-5$$. Se representa con una flecha entrante (compresión) en la dirección $$y$$ (o en sentido opuesto al eje $$y$$).
   - En la cara perpendicular al eje $$z$$:  
     - $$\sigma_{zz}=-1$$. Se representa con una flecha entrante en la dirección $$z$$.

3. **Componentes de cizalladura (off-diagonales):**  
   - Sobre la cara perpendicular a $$x$$:  
     - $$\sigma_{xy}=-1$$: Una fuerza tangencial en dirección $$y$$ (la dirección negativa de $$y$$ si el signo es negativo).  
     - $$\sigma_{xz}=6$$: Una fuerza tangencial en dirección $$z$$ (positiva, si el signo lo indica).  
   - Sobre la cara perpendicular a $$y$$:  
     - $$\sigma_{yx}=-1$$: Una fuerza tangencial en dirección $$x$$ (apunta en el sentido negativo).  
     - $$\sigma_{yz}=-2$$: Una fuerza tangencial en dirección $$z$$ (sentido negativo).  
   - Sobre la cara perpendicular a $$z$$:  
     - $$\sigma_{zx}=6$$: Una fuerza tangencial en dirección $$x$$ (positiva).  
     - $$\sigma_{zy}=2$$: Una fuerza tangencial en dirección $$y$$ (positiva).

4. **Representación gráfica:**  
   En la hoja milimetrada, dibuja el cubo y, en cada una de sus caras, dibuja vectores (flechas) con la dirección y sentido correspondientes a cada componente. Usa escalas adecuadas para reflejar la magnitud (por ejemplo, una unidad en la escala puede representar una unidad de tensión).

---

### b) Tensor
$$
[\sigma]=\begin{bmatrix} 
-4 & 2 & -1 \ 
2 & 3 & 0 \ 
-1 & 0 & 0 
\end{bmatrix}
$$

1. **Sistema y cubo:**  
   Dibuja el sistema tridimensional y coloca un cubo representando el elemento.

2. **Componentes normales:**  
   - En la cara perpendicular al eje $$x$$:  
     - $$\sigma_{xx}=-4$$ (compresión en $$x$$; flecha entrante).
   - En la cara perpendicular a $$y$$:  
     - $$\sigma_{yy}=3$$ (tensión; flecha saliente en $$y$$).
   - En la cara perpendicular a $$z$$:  
     - $$\sigma_{zz}=0$$ (ninguna tensión normal).

3. **Componentes de cizalladura:**  
   - Sobre la cara perpendicular a $$x$$:  
     - $$\sigma_{xy}=2$$: Representa una fuerza tangencial en la dirección $$y$$ (positiva).  
     - $$\sigma_{xz}=-1$$: Representa una fuerza tangencial en la dirección $$z$$ (negativa).
   - Sobre la cara perpendicular a $$y$$:  
     - $$\sigma_{yx}=2$$: Fuerza en dirección $$x$$ (positiva).  
     - $$\sigma_{yz}=0$$: No hay componente de tensión de cizalladura en $$z$$.
   - Sobre la cara perpendicular a $$z$$:  
     - $$\sigma_{zx}=-1$$: Fuerza en dirección $$x$$ (negativa).  
     - $$\sigma_{zy}=0$$: No hay componente en $$y$$.

4. **Representación gráfica:**  
   Dibuja en cada cara del cubo las flechas correspondientes a cada componente. Asegúrate de distinguir entre tensiones de tracción (flechas salientes) y de compresión (flechas entrantes), y utiliza una escala coherente.

---

### c) Tensor
$$
[\sigma]=\begin{bmatrix} 
-2 & 0 & 2 \ 
0 & 2 & -4 \ 
2 & -4 & 4 
\end{bmatrix}
$$

1. **Sistema y cubo:**  
   Dibuja el sistema tridimensional y el cubo.

2. **Componentes normales:**  
   - En la cara perpendicular al eje $$x$$:  
     - $$\sigma_{xx}=-2$$ (compresión; dibuja una flecha entrante en $$x$$).
   - En la cara perpendicular a $$y$$:  
     - $$\sigma_{yy}=2$$ (tensión; flecha saliente en $$y$$).
   - En la cara perpendicular a $$z$$:  
     - $$\sigma_{zz}=4$$ (tensión; flecha saliente en $$z$$).

3. **Componentes de cizalladura:**  
   - Sobre la cara perpendicular a $$x$$:  
     - $$\sigma_{xy}=0$$: No hay componente en $$y$$.  
     - $$\sigma_{xz}=2$$: Fuerza tangencial en dirección $$z$$ (positiva).
   - Sobre la cara perpendicular a $$y$$:  
     - $$\sigma_{yx}=0$$: No hay componente en $$x$$.  
     - $$\sigma_{yz}=-4$$: Fuerza tangencial en dirección $$z$$ (negativa).
   - Sobre la cara perpendicular a $$z$$:  
     - $$\sigma_{zx}=2$$: Fuerza tangencial en dirección $$x$$ (positiva).  
     - $$\sigma_{zy}=-4$$: Fuerza tangencial en dirección $$y$$ (negativa).

4. **Representación gráfica:**  
   En el dibujo del cubo, coloca para cada cara las flechas que representan las tensiones normales y de cizalladura de la manera indicada. Utiliza una leyenda o escala para interpretar el sentido (positivo: tracción, negativo: compresión o dirección contraria) y la magnitud de cada vector.

---

$$
\textbf{Notas generales para la representación:}
$$

- Cada cara del cubo se etiqueta según su orientación (por ejemplo, la cara $$x=+$$ o $$x=-$$).
- Las flechas deben colocarse en la cara correspondiente, iniciando en el centro de la cara y orientadas según la dirección del vector tensión.
- La longitud de cada flecha debe ser proporcional a la magnitud de la componente de tensión.
- Es recomendable incluir una leyenda que explique la convención de signos: por ejemplo, flechas salientes representan tensiones positivas (tracción) y flechas entrantes representan tensiones negativas (compresión).

Este procedimiento te permite visualizar cómo actúan en cada dirección las componentes del tensor de tensiones en el elemento. Cada dibujo se realiza en una hoja milimetrada, que facilita la representación precisa en el sistema de coordenadas tridimensional.
Para cada tensor, dibuja un cubo en el sistema tridimensional $$x$$, $$y$$, $$z$$. En cada cara del cubo, representa las tensiones normales y de cizalladura según sus valores: - **Componentes normales ($$\sigma_{xx}$$, $$\sigma_{yy}$$, $$\sigma_{zz}$$)**: Dibuja flechas salientes para tensiones positivas (tracción) y entrantes para tensiones negativas (compresión). - **Componentes de cizalladura ($$\sigma_{xy}$$, $$\sigma_{xz}$$, $$\sigma_{yx}$$, $$\sigma_{yz}$$, $$\sigma_{zx}$$, $$\sigma_{zy}$$)**: Dibuja flechas tangenciales a las caras correspondientes, indicando la dirección y sentido según los valores. Asegúrate de usar una hoja milimetrada para representar las magnitudes de las tensiones de manera precisa y coherente.

Dibuje en el sistema de coordenadas tridimensional las componentes de los
siguientes tensores de tensiones. (2.5 puntos)
Nota: Dibuje en hoja milimetrada.
a.
b.
c.

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