1) Una prueba de tensión para una aleación de acero da como resultado el diagrama de esfuerzo-deformación unitaria mostrado en las figuras siguientes. Calcule el módulo de elasticidad y el esfuerzo de fluencia con base en una desviació́s de $$ 0.2 \% $$. Identifique sobre la gráfica el esfuerzo último y el esfuerzo de fractura.

Question

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1. **Módulo de Elasticidad**  
   - En la región elástica, la relación entre el esfuerzo $$ \sigma $$ y la deformación unitaria $$ \varepsilon $$ es lineal. Por lo tanto, el módulo de elasticidad $$ E $$ se calcula como la pendiente de esta porción de la gráfica:  
     
     $$
     E = \frac{\Delta\sigma}{\Delta\varepsilon}
     $$
     
   - Para determinar $$ E $$, se seleccionan dos puntos de la parte lineal (dentro del rango en el cual la curva es recta) y se aplicará la fórmula anterior. Por ejemplo, si en la gráfica se tiene un punto $$ (\varepsilon_1, \sigma_1) $$ y otro $$ (\varepsilon_2, \sigma_2) $$, entonces:
     
     $$
     E = \frac{\sigma_2 - \sigma_1}{\varepsilon_2 - \varepsilon_1}
     $$
     
   - La unidad de $$ E $$ será MPa (megapascales) o GPa (gigapascales), según la escala del diagrama.

2. **Esfuerzo de Fluencia con Desviación de $$0.2\%$$**  
   - Debido a que la transición de la deformación elástica a la plástica no es abrupta, se utiliza el método de desplazamiento (offset) para definir un punto de fluencia.
   - Se desplaza una línea paralela a la porción elástica de la curva, trasladándola una deformación de $$0.2\%$$ (en términos decimales, $$0.002$$). Esto se hace de la siguiente manera:
     - Trazar la línea con la misma pendiente $$ E $$ que la región elástica pero que cumple la ecuación:
       
       $$
       \sigma = E \left( \varepsilon - 0.002 \right)
       $$
       
     - El punto de intersección de esta línea desplazada con la curva real se define como el punto de fluencia, cuyo esfuerzo se denota como $$ \sigma_y $$.

3. **Identificación del Esfuerzo Último y del Esfuerzo de Fractura**  
   - **Esfuerzo Último:**  
     - Es el valor máximo de esfuerzo que alcanza la curva en la prueba. Se identifica como el punto en el que la curva alcanza su valor máximo de $$ \sigma $$ antes de que la muestra comience a mostrar signos de ablandamiento plásticos o antes de la reducción de la sección.
     
   - **Esfuerzo de Fractura:**  
     - Es el esfuerzo correspondiente al punto final de la curva, es decir, el esfuerzo en el momento en que se produce la fractura o ruptura del material.
     
En resumen, para resolver el problema se debe:
- Determinar $$ E $$ calculando la pendiente de la parte lineal de la curva.
- Trazar la línea de desplazamiento con $$ 0.002 $$ de deformación y encontrar su intersección con la curva para obtener $$ \sigma_y $$.
- Examinar la gráfica para identificar visualmente el punto de esfuerzo máximo (esfuerzo último) y el punto final antes de la ruptura (esfuerzo de fractura).

Los valores numéricos específicos dependerán de los datos exactos proporcionados en la gráfica.
To determine the **modulus of elasticity** and the **yield strength** with a $$0.2\%$$ offset: 1. **Modulus of Elasticity (E):** - Identify the linear portion of the stress-strain curve. - Calculate $$ E $$ as the slope of this line using two points: $$ E = \frac{\Delta\sigma}{\Delta\varepsilon} $$ - Units: MPa or GPa. 2. **Yield Strength ($$ \sigma_y $$) at $$0.2\%$$ Offset:** - Draw a line parallel to the elastic region, shifted by $$0.002$$ in strain. - The intersection of this line with the stress-strain curve gives $$ \sigma_y $$. 3. **Ultimate Strength and Fracture Strength:** - **Ultimate Strength:** Maximum stress before significant plastic deformation. - **Fracture Strength:** Stress at the point of material failure. **Steps:** - Plot the modulus of elasticity by finding the slope of the linear part. - Use the offset method to determine the yield strength. - Identify the ultimate and fracture strengths from the graph. **Note:** Specific numerical values depend on the actual data from the stress-strain diagram.

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