19-28 Calculez le volume du solide donné. 19. Sous le plan \( 3 x+2 y-z=0 \) et au-dessus de la région bornée par les paraboles \( y=x^{2} \) et \( x=y^{2} \)

Pour calculer le volume du solide situé sous le plan \( 3x + 2y - z = 0 \) et au-dessus de la région bornée par les paraboles \( y = x^2 \) et \( x = y^2 \), nous allons suivre les étapes suivantes : ### Étape 1 : Déterminer la région d'intégration Les courbes \( y = x^2 \) et \( x = y^2 \) se croisent. Pour trouver les points d'intersection, nous devons résoudre le système d'équations : 1. \( y = x^2 \) 2. \( x = y^2 \) En substituant \( y = x^2 \) dans \( x = y^2 \), nous obtenons : \[ x = (x^2)^2 = x^4 \] Cela nous donne l'équation : \[ x^4 - x = 0 \] Facteur cette équation : \[ x(x^3 - 1) = 0 \] Les solutions sont \( x = 0 \) et \( x = 1 \) (puisque \( x^3 - 1 = 0 \) donne \( x = 1 \)). En substituant ces valeurs dans \( y = x^2 \), nous trouvons les points d'intersection : - Pour \( x = 0 \), \( y = 0^2 = 0 \) donc le point est \( (0, 0) \). - Pour \( x = 1 \), \( y = 1^2 = 1 \) donc le point est \( (1, 1) \). ### Étape 2 : Établir les limites d'intégration La région d'intégration est délimitée par les courbes \( y = x^2 \) et \( x = y^2 \) entre \( x = 0 \) et \( x = 1 \). ### Étape 3 : Écrire l'expression du volume Le volume \( V \) du solide est donné par l'intégrale double de la fonction \( z \) sur la région \( R \) : \[ V = \iint_R z \, dA \] Où \( z \) est donné par l'équation du plan : \[ z = 3x + 2y \] ### Étape 4 : Établir l'intégrale Nous allons intégrer d'abord par rapport à \( y \) puis par rapport à \( x \). Les limites pour \( y \) vont de \( x^2 \) à \( \sqrt{x} \) (puisque \( x = y^2 \) implique \( y = \sqrt{x} \)) et pour \( x \) de \( 0 \) à \( 1 \). L'intégrale devient : \[ V = \int_0^1 \int_{x^2}^{\sqrt{x}} (3x + 2y) \, dy \, dx \] ### Étape 5 : Calculer l'intégrale Calculons l'intégrale : 1. **Intégration par rapport à \( y \)** : \[ \int_{x^2}^{\sqrt{x}} (3x + 2y) \, dy = \left[ 3xy + y^2 \right]_{y=x^2}^{y=\sqrt{x}} \] Calculons cela : \[ = \left( 3x\sqrt{x} + (\sqrt{x})^2 \right) - \left( 3x(x^2) + (x^2)^2 \right) \] \[ = \left( 3x\sqrt{x} + x \right) - \left( 3x^3 + x^4 \right) \] \[ = 3x\sqrt{x} + x - 3x^3 - x^4 \] 2. **Intégration par rapport à \( x \)** : Nous devons maintenant intégrer : \[ V = \int_0^1 (3x\sqrt{x} + x - 3x^3 - x^4) \, dx \] Calculons chaque terme séparément : - Pour \( 3x\sqrt{x} = 3x^{3/2} \): \[ \int_0^1 3x^{3/2} \, dx = 3 \cdot \frac{2}{5} x^{5/2} \bigg|_0^1 = \frac{6}{5} \] - Pour \( x \): \[ \int_0^1 x \, dx = \frac{1}{2} \] - Pour \( -3x^3 \): \[ \int_0^1 -3x^3 \, dx = -3 \cdot \frac{1}{4} = -\frac{3}{4} \] - Pour \( -x^4 \): \[ \int_0^1 -x^4 \, dx = -\frac{1}{5} \] ### Étape 6 : Additionner les résultats Maintenant, additionnons tous ces résultats : \[ V = \frac{6}{5} + \frac{1}{2} - \frac{3}{4} - \frac{1}{5} \] Convertissons tout en un dénominateur commun (20) : \[ V = \frac{24}{20} + \frac{10}{20} - \frac{15}{20} - \frac{4}{20} = \frac{24 + 10 - 15 - 4}{20} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4} \] ### Conclusion Le volume du solide est donc : \[ \boxed{\frac{3}{4}} \]