19-28 Calculez le volume du solide donné. 19. Sous le plan $$ 3 x+2 y-z=0 $$ et au-dessus de la région bornée par les paraboles $$ y=x^{2} $$ et $$ x=y^{2} $$

Question

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Pour calculer le volume du solide situé sous le plan $$ 3x + 2y - z = 0 $$ et au-dessus de la région bornée par les paraboles $$ y = x^2 $$ et $$ x = y^2 $$, nous allons suivre les étapes suivantes :

### Étape 1 : Déterminer la région d'intégration

Les courbes $$ y = x^2 $$ et $$ x = y^2 $$ se croisent. Pour trouver les points d'intersection, nous devons résoudre le système d'équations :

1. $$ y = x^2 $$
2. $$ x = y^2 $$

En substituant $$ y = x^2 $$ dans $$ x = y^2 $$, nous obtenons :

$$
x = (x^2)^2 = x^4
$$

Cela nous donne l'équation :

$$
x^4 - x = 0
$$

Facteur cette équation :

$$
x(x^3 - 1) = 0
$$

Les solutions sont $$ x = 0 $$ et $$ x = 1 $$ (puisque $$ x^3 - 1 = 0 $$ donne $$ x = 1 $$). En substituant ces valeurs dans $$ y = x^2 $$, nous trouvons les points d'intersection :

- Pour $$ x = 0 $$, $$ y = 0^2 = 0 $$ donc le point est $$ (0, 0) $$.
- Pour $$ x = 1 $$, $$ y = 1^2 = 1 $$ donc le point est $$ (1, 1) $$.

### Étape 2 : Établir les limites d'intégration

La région d'intégration est délimitée par les courbes $$ y = x^2 $$ et $$ x = y^2 $$ entre $$ x = 0 $$ et $$ x = 1 $$.

### Étape 3 : Écrire l'expression du volume

Le volume $$ V $$ du solide est donné par l'intégrale double de la fonction $$ z $$ sur la région $$ R $$ :

$$
V = \iint_R z \, dA
$$

Où $$ z $$ est donné par l'équation du plan :

$$
z = 3x + 2y
$$

### Étape 4 : Établir l'intégrale

Nous allons intégrer d'abord par rapport à $$ y $$ puis par rapport à $$ x $$. Les limites pour $$ y $$ vont de $$ x^2 $$ à $$ \sqrt{x} $$ (puisque $$ x = y^2 $$ implique $$ y = \sqrt{x} $$) et pour $$ x $$ de $$ 0 $$ à $$ 1 $$.

L'intégrale devient :

$$
V = \int_0^1 \int_{x^2}^{\sqrt{x}} (3x + 2y) \, dy \, dx
$$

### Étape 5 : Calculer l'intégrale

Calculons l'intégrale :

1. **Intégration par rapport à $$ y $$** :

$$
\int_{x^2}^{\sqrt{x}} (3x + 2y) \, dy = \left[ 3xy + y^2 \right]_{y=x^2}^{y=\sqrt{x}}
$$

Calculons cela :

$$
= \left( 3x\sqrt{x} + (\sqrt{x})^2 \right) - \left( 3x(x^2) + (x^2)^2 \right)
$$

$$
= \left( 3x\sqrt{x} + x \right) - \left( 3x^3 + x^4 \right)
$$

$$
= 3x\sqrt{x} + x - 3x^3 - x^4
$$

2. **Intégration par rapport à $$ x $$** :

Nous devons maintenant intégrer :

$$
V = \int_0^1 (3x\sqrt{x} + x - 3x^3 - x^4) \, dx
$$

Calculons chaque terme séparément :

- Pour $$ 3x\sqrt{x} = 3x^{3/2} $$:

$$
\int_0^1 3x^{3/2} \, dx = 3 \cdot \frac{2}{5} x^{5/2} \bigg|_0^1 = \frac{6}{5}
$$

- Pour $$ x $$:

$$
\int_0^1 x \, dx = \frac{1}{2}
$$

- Pour $$ -3x^3 $$:

$$
\int_0^1 -3x^3 \, dx = -3 \cdot \frac{1}{4} = -\frac{3}{4}
$$

- Pour $$ -x^4 $$:

$$
\int_0^1 -x^4 \, dx = -\frac{1}{5}
$$

### Étape 6 : Additionner les résultats

Maintenant, additionnons tous ces résultats :

$$
V = \frac{6}{5} + \frac{1}{2} - \frac{3}{4} - \frac{1}{5}
$$

Convertissons tout en un dénominateur commun (20) :

$$
V = \frac{24}{20} + \frac{10}{20} - \frac{15}{20} - \frac{4}{20} = \frac{24 + 10 - 15 - 4}{20} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}
$$

### Conclusion

Le volume du solide est donc :

$$
\boxed{\frac{3}{4}}
$$
Le volume du solide est $$ \frac{3}{4} $$.

19-28 Calculez le volume du solide donné. 19. Sous le plan \( 3 x+2 y-z=0 \) et au-dessus de la région bornée par les paraboles \( y=x^{2} \) et \( x=y^{2} \)

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