$$ \int_{0}^{1} \int_{x^{2}}^{2 x} d y d x $$ มีค่าตรงกับข้อใด $$ \begin{array}{ll} ext { 1) } \frac{1}{2} & ext { 2) } \frac{1}{5} \ ext { 3) } \frac{2}{3} & ext { 4) } \frac{4}{3}\end{array} $$ Select one:

Question

$$ \int_{0}^{1} \int_{x^{2}}^{2 x} d y d x $$ มีค่าตรงกับข้อใด $$ \begin{array}{ll}	ext { 1) } \frac{1}{2} & 	ext { 2) } \frac{1}{5} \ 	ext { 3) } \frac{2}{3} & 	ext { 4) } \frac{4}{3}\end{array} $$ Select one:

UpStudy AI · Accepted Answer

เราพิจารณาอินทิกรัล

$$
\int_{0}^{1} \int_{x^{2}}^{2x} dy\, dx.
$$

ขั้นแรกให้คำนวณอินทิกรัลภายใน (ตาม $$y$$) ซึ่งเป็นอินทิกรัลง่ายๆ ดังนี้

$$
\int_{x^2}^{2x} dy = \left[ y \right]_{x^2}^{2x} = 2x - x^2.
$$

ดังนั้น อินทิกรัลกลายเป็น

$$
\int_{0}^{1} (2x - x^2) \, dx.
$$

เราจะแยกอินทิกรัลตามสมบัติการบวก

$$
\int_{0}^{1} 2x\, dx - \int_{0}^{1} x^2\, dx.
$$

คำนวณอินทิกรัลแรก

$$
\int_{0}^{1} 2x\, dx = 2 \left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1} = \left[x^2\right]_{0}^{1} = 1,
$$

และอินทิกรัลที่สอง

$$
\int_{0}^{1} x^2\, dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}.
$$

ดังนั้น

$$
\int_{0}^{1} (2x - x^2) \, dx = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.
$$

ค่าที่ได้ตรงกับข้อ

3) $$\frac{2}{3}$$.
ค่าของอินทิกรัล $$ \int_{0}^{1} \int_{x^{2}}^{2x} dy\, dx $$ คือ $$\frac{2}{3}$$, ซึ่งตรงกับข้อ 3.

\( \int_{0}^{1} \int_{x^{2}}^{2 x} d y d x \) มีค่าตรงกับข้อใด \( \begin{array}{ll}\text { 1) } \frac{1}{2} & \text { 2) } \frac{1}{5} \\ \text { 3) } \frac{2}{3} & \text { 4) } \frac{4}{3}\end{array} \) Select one:

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Extra Insights

Related Questions

Latest Calculus Questions