ความชันของเส้นสัมผัส ซึ่งสัมผัสเส้นโค้งที่เป็นรอยตัดของพื้นผิว $$ \mathrm{z}=\mathrm{x}^{3}-4 \mathrm{y}^{3} $$ กับระนาบ $$ \mathrm{y}=-1 $$ ที่จุด $$ (1,-1,5) $$ คือข้อใด $$ \begin{array}{ll} ext { 1) } \frac{\partial \mathrm{z}}{\partial \mathrm{x}}=3 & ext { 2) } \frac{\partial \mathrm{z}}{\partial \mathrm{x}}=5 \ ext { 3) } \frac{\partial \mathrm{z}}{\partial \mathrm{y}}=7 & ext { 4) } \frac{\partial \mathrm{z}}{\partial \mathrm{y}}=12\end{array} $$

Question

ความชันของเส้นสัมผัส ซึ่งสัมผัสเส้นโค้งที่เป็นรอยตัดของพื้นผิว $$ \mathrm{z}=\mathrm{x}^{3}-4 \mathrm{y}^{3} $$ กับระนาบ $$ \mathrm{y}=-1 $$ ที่จุด $$ (1,-1,5) $$ คือข้อใด $$ \begin{array}{ll}	ext { 1) } \frac{\partial \mathrm{z}}{\partial \mathrm{x}}=3 & 	ext { 2) } \frac{\partial \mathrm{z}}{\partial \mathrm{x}}=5 \ 	ext { 3) } \frac{\partial \mathrm{z}}{\partial \mathrm{y}}=7 & 	ext { 4) } \frac{\partial \mathrm{z}}{\partial \mathrm{y}}=12\end{array} $$

UpStudy AI · Accepted Answer

พิจารณาพื้นผิว $$ z = x^3 - 4y^3 $$ และระนาบ $$ y = -1 $$ เมื่อตัดกันจะได้เส้นโค้งที่สามารถเขียนเป็นฟังก์ชันของ $$ x $$ ได้โดยแทน $$ y = -1 $$ ลงในสมการพื้นผิว

$$
z = x^3 - 4(-1)^3 = x^3 - 4(-1) = x^3 + 4
$$

เส้นโค้งที่ได้คือ

$$
z = x^3 + 4
$$

ขั้นตอนต่อมาให้หา "ความชันของเส้นสัมผัส" ซึ่งหมายถึงค่าของอนุพันธ์ของ $$ z $$ ตาม $$ x $$ ในเส้นโค้งนี้

$$
\frac{dz}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3 + 4) = 3x^2
$$

โดยที่จุดที่ต้องพิจารณาคือ $$ x = 1 $$ (จากจุด $$ (1, -1, 5) $$) ดังนั้น

$$
\frac{dz}{dx}\Big|_{x=1} = 3\cdot(1)^2 = 3
$$

ดังนั้นความชันของเส้นสัมผัสที่จุด $$ (1,-1,5) $$ คือ $$ \frac{\partial z}{\partial x} = 3 $$ ตรงกับข้อเลือกข้อที่ 1
ความชันของเส้นสัมผัสที่จุด $$ (1,-1,5) $$ คือ $$ \frac{\partial z}{\partial x} = 3 $$, ตรงกับข้อ 1

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

The Deep Dive

Related Questions

Latest Calculus Questions