A MATEMATIK-I 5. $$ \lim _{x ightarrow 1} \frac{x-1}{x^{2}+x-2} $$ limitinin değeri kaçtr? A) -1 B) 0 C) 1 D) $$ \frac{1}{3} $$ E) $$ \frac{1}{2} $$ 6. $$ \lim _{x ightarrow 2^{-}} \frac{\left|x^{2}-4 ight|}{x-2} $$ limitinin degeri kaçtır? A) -4 B) -2 C) 0 D) 1 E) 2 7. $$ \lim _{x ightarrow 1^{-}} \frac{1}{x-1} $$ limiti aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) $$ \infty $$ B) $$ -\infty $$ C) 1 D) -1 E) 0 8. $$ \lim _{x ightarrow \infty} \frac{x+6 x^{3}}{3 x^{3}-1} $$ limitinin değeri kaçtır? A) 6 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0 9. $$ f(x)=\left\{\begin{array}{l}2 x+1, \quad x

Question

A MATEMATIK-I 5. $$ \lim _{x ightarrow 1} \frac{x-1}{x^{2}+x-2} $$ limitinin değeri kaçtr? A) -1 B) 0 C) 1 D) $$ \frac{1}{3} $$ E) $$ \frac{1}{2} $$ 6. $$ \lim _{x ightarrow 2^{-}} \frac{\left|x^{2}-4ight|}{x-2} $$ limitinin degeri kaçtır? A) -4 B) -2 C) 0 D) 1 E) 2 7. $$ \lim _{x ightarrow 1^{-}} \frac{1}{x-1} $$ limiti aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) $$ \infty $$ B) $$ -\infty $$ C) 1 D) -1 E) 0 8. $$ \lim _{x ightarrow \infty} \frac{x+6 x^{3}}{3 x^{3}-1} $$ limitinin değeri kaçtır? A) 6 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0 9. $$ f(x)=\left\{\begin{array}{l}2 x+1, \quad x<0 \ \frac{2}{x+1}, \quad 0 \leq x<1 	ext { fonksiyonuyla ingil } \ x+1, \quad x \geq 1\end{array}ight. $$. I. $$ x=-1 $$ noktasinda sureklidir. II- $$ x=0 $$ noktasında süreklidir. III. $$ x=1 $$ noktasinda sarektidir. Ifadelerinden hangileri doğrudur? A) YalnizI B) Yalnız II C) Ivell D) I ve III E) II ve III 10. $$ f(x)=(3 x+1)^{3} $$ fonksiyonunun $$ f^{\prime}(x) $$ türev fonksiyonu aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) $$ 3(3 x+1)^{3} $$ B) $$ 3(3 x+1)^{2} $$ C) $$ 9(3 x+1)^{3} $$ D) $$ 9(3 x+1)^{2} $$ E) $$ (3 x+1)^{3} $$ 11. $$ f(x)=|x| $$ fonksiyonunun türev değerleriyle ilgili 1. $$ f^{\prime}(5)=5 $$ II. $$ f^{\prime}(0)=0 $$ III. $$ f^{\prime}(-1)=-1 $$ eşitliklerinden hangileri doğrudur? A) YalnizI B) Yalnız II C) Yalniz III D) I ve III E) II ve III

UpStudy AI · Accepted Answer

Elbette, tüm soruların çözümlerini ve doğru seçeneklerini aşağıda bulabilirsiniz:

---

**Soru 5:**  
$$ \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x-1}{x^{2}+x-2} $$

**Çözüm:**  
İlk olarak, payda ifadesini çarpanlarına ayırabiliriz:  
$$ x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1) $$

Limit ifadesi:  
$$ \lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{(x + 2)(x - 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{3} $$

**Doğru Seçenek:** **D) $$ \frac{1}{3} $$**

---

**Soru 6:**  
$$ \lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{\left|x^{2}-4\right|}{x-2} $$

**Çözüm:**  
$$ x $$ 2'ye soldan yaklaştığında, $$ x < 2 $$.  
$$ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) $$  
Mutlak değer alma durumu:  
$$ |x^2 - 4| = |(x - 2)(x + 2)| = -(x - 2)(x + 2) = (2 - x)(x + 2) $$

Limit ifadesi:  
$$ \lim_{x \to 2^-} \frac{(2 - x)(x + 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2^-} \frac{-(x + 2)}{1} = -4 $$

**Doğru Seçenek:** **A) -4**

---

**Soru 7:**  
$$ \lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{1}{x-1} $$

**Çözüm:**  
$$ x $$ 1'e soldan yaklaştığında, $$ x < 1 $$ ve $$ x - 1 $$ negatif ve sıfıra yaklaşır.  
$$ \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{x - 1} = -\infty $$

**Doğru Seçenek:** **B) $$ -\infty $$**

---

**Soru 8:**  
$$ \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x+6 x^{3}}{3 x^{3}-1} $$

**Çözüm:**  
Büyük $$ x $$ değerlerinde, en yüksek dereceli terimler baskın olur:  
Numerator: $$ 6x^3 $$  
Denominator: $$ 3x^3 $$  
Limit:  
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{6x^3}{3x^3} = 2 $$

**Doğru Seçenek:** **C) 2**

---

**Soru 9:**  
Fonksiyon:  
$$ f(x)=\left\{\begin{array}{l}2x+1, \quad x<0 \ \frac{2}{x+1}, \quad 0 \leq x<1 \ x+1, \quad x \geq 1\end{array}\right. $$

**İfadeler:**
I. $$ x=-1 $$ noktasında süreklidir.  
II. $$ x=0 $$ noktasında süreklidir.  
III. $$ x=1 $$ noktasında sürektir.

**Çözüm:**

- **I. $$ x = -1 $$:**  
  $$ x < 0 $$ için $$ f(x) = 2x + 1 $$ sürekli bir fonksiyondur. $$ f(-1) = -1 $$. Limit ve fonksiyon değeri eşit olduğu için sürekli.

- **II. $$ x = 0 $$:**  
  Sol limit: $$ \lim_{x \to 0^-} 2x + 1 = 1 $$  
  Sağ limit: $$ \lim_{x \to 0^+} \frac{2}{x + 1} = 2 $$  
  Fonksiyon değeri: $$ f(0) = \frac{2}{1} = 2 $$  
  Sol ve sağ limitler eşit olmadığı için süreksiz.

- **III. $$ x = 1 $$:**  
  Sol limit: $$ \lim_{x \to 1^-} \frac{2}{x + 1} = 1 $$  
  Sağ limit: $$ \lim_{x \to 1^+} (x + 1) = 2 $$  
  Fonksiyon değeri: $$ f(1) = 2 $$  
  Sol ve sağ limitler eşit olmadığı için süreksiz.

**Doğru İfade:**  
**A) Yalnız I**

---

**Soru 10:**  
$$ f(x) = (3x +1)^3 $$  
Türev $$ f'(x) $$ bulun.

**Çözüm:**  
Karma zincir kuralını uygulayalım:  
$$ f'(x) = 3 \cdot (3x + 1)^2 \cdot 3 = 9(3x + 1)^2 $$

**Doğru Seçenek:** **D) $$ 9(3x +1)^{2} $$**

---

**Soru 11:**  
$$ f(x) = |x| $$  
Türev değerleri:

I. $$ f'(5) = 5 $$  
II. $$ f'(0) = 0 $$  
III. $$ f'(-1) = -1 $$

**Çözüm:**

- **I. $$ f'(5) $$:**  
  $$ x > 0 $$ için türev $$ 1 $$.  
  $$ f'(5) = 1 $$ (İfade yanlış, 5 değil).

- **II. $$ f'(0) $$:**  
  $$ x = 0 $$ noktasında türev tanımsızdır (sağ ve sol türev farklıdır).  
  $$ f'(0) $$ var değildir, 0 değildir. (İfade yanlış).

- **III. $$ f'(-1) $$:**  
  $$ x < 0 $$ için türev $$ -1 $$.  
  $$ f'(-1) = -1 $$ (Doğru).

**Doğru İfade:**  
**C) Yalnız III**

---

Umarım yardımcı olabilmişimdir!
**Soru 5:** Limit değeri **D) 1/3**. **Soru 6:** Limit değeri **A) -4**. **Soru 7:** Limit değeri **B) -∞**. **Soru 8:** Limit değeri **C) 2**. **Soru 9:** Doğru ifade **A) Yalnız I**. **Soru 10:** Türev değeri **D) 9(3x +1)^2**. **Soru 11:** Doğru ifade **C) Yalnız III**. Umarım yardımcı olabilmişimdir!

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Beyond the Answer

Related Questions

Latest Calculus Questions