32 Le plan est muni d'un repère ( $$ \mathrm{O}, \mathrm{I}, \mathrm{J} $$ ). m est un nombre éel et (D) est la droite d'équation : $$ m x+(m+2) y=2-m $$ 1. Détermine $$ m $$ pour que (D) soit parallèle à (OI), puis donne une équation de (D). 2. Détermine $$ m $$ pour que (D) soit parallèle à(OJ), puis donne une équation de (D). 3. Détermine $$ m $$ pour que (D) passe par le point $$ O $$, puis donne une équation de (D).

Question

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1. Pour que la droite soit parallèle à $$(OI)$$ (axe horizontal), son coefficient directeur doit être nul.

- On écrit l'équation de $$(D)$$ :
     $$
     m x+(m+2) y=2-m.
     $$
   - Lorsque $$m+2\neq0$$, on peut mettre cette équation sous la forme :
     $$
     y=\frac{2-m}{m+2}-\frac{m}{m+2}x.
     $$
   - Le coefficient directeur est alors $$-\frac{m}{m+2}$$. Pour avoir une droite horizontale, il faut que :
     $$
     -\frac{m}{m+2}=0.
     $$
   - Cette égalité implique $$m=0$$ (puisque $$m+2\neq0$$ pour $$m=0$$).
     
   - En remplaçant $$m$$ par $$0$$ dans l'équation de $$(D)$$, on obtient :
     $$
     0\cdot x+(0+2)y=2-0 \quad\Longrightarrow\quad 2y=2,
     $$
     donc
     $$
     y=1.
     $$
     
   La réponse est donc : $$m=0$$ et $$(D)$$ a pour équation $$y=1$$.

2. Pour que la droite soit parallèle à $$(OJ)$$ (axe vertical), elle doit être parallèle à la droite verticale, c'est-à-dire de la forme $$x=k$$. Une droite de cette forme ne peut pas être exprimée en fonction de $$y$$ et son équation s'obtient généralement lorsque le coefficient devant $$y$$ est nul.

- Partant de l'équation :
     $$
     m x+(m+2) y=2-m,
     $$
     on impose le coefficient de $$y$$ nul :
     $$
     m+2=0.
     $$
   - Ceci donne :
     $$
     m=-2.
     $$
     
   - En remplaçant $$m$$ par $$-2$$, l'équation devient :
     $$
     -2x+( -2+2)y=2-(-2) \quad\Longrightarrow\quad -2x+0\cdot y=4,
     $$
     soit
     $$
     -2x=4 \quad\Longrightarrow\quad x=-2.
     $$

La réponse est donc : $$m=-2$$ et $$(D)$$ a pour équation $$x=-2$$.

3. Pour que la droite $$(D)$$ passe par l'origine $$O(0,0)$$, on remplace $$x=0$$ et $$y=0$$ dans l'équation :
   $$
   m\cdot0+(m+2)\cdot0=2-m.
   $$
   Ce qui donne :
   $$
   0=2-m.
   $$
   
   - On en déduit :
     $$
     m=2.
     $$
     
   - En insérant $$m=2$$ dans l'équation de $$(D)$$, on a :
     $$
     2x+(2+2)y=2-2 \quad\Longrightarrow\quad 2x+4y=0.
     $$
   - En simplifiant par 2, on obtient :
     $$
     x+2y=0.
     $$

La réponse est donc : $$m=2$$ et $$(D)$$ a pour équation $$x+2y=0$$.
1. Pour que (D) soit parallèle à (OI), $$m = 0$$ et l'équation de (D) est $$y = 1$$. 2. Pour que (D) soit parallèle à (OJ), $$m = -2$$ et l'équation de (D) est $$x = -2$$. 3. Pour que (D) passe par $$O$$, $$m = 2$$ et l'équation de (D) est $$x + 2y = 0$$.

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