TP DE GEOMETRIE PLAN Les bissectrices de 2 angles adjacents supplémentaires forment entre elles un angle droit démontrer. Et généraliser cette propriété pour 2 angles adjacents quelconques. Les triangles CAD, CBD sont isocèles et ont une base commune CD. Montrer que les angle CAD , CBD admettent pour bissectrice la droite AB . On donne un carré ABCD ; on mène les diagonales et de chaque sommet comme centre, o décrit un arc de cercle passant par le point de rencontre O des diagonales et limité aux côté du carré ; on détermine ainsi sur les côtés du carré 8 points \( \mathrm{E}, \mathrm{F} \), \( \mathrm{G}, \mathrm{H}, \mathrm{I}, \mathrm{K} \), L, M. a Démontrer que le polygone EFGHIKLM est un octogone régulier b) Trouver l'aire total des figures suivantes AEOM, FBGO, HCIO et KDLO. Dans un triangle ABC, on trace les 3 hauteurs AD , BE , CF . Du point E , on abaisse de perpendiculaires sur les côtés et sur les hauteurs. Démontrer que les 4 pieds de ce perpendiculaires sont colinéaires. Quel est le lieu géométrique des points d'où l'on peut mener à une sphère, trois plan tangents formant entre eux un trièdre trirectangle

Pour résoudre ce problème de géométrie, nous allons aborder chaque partie étape par étape. ### 1. Bissectrices de deux angles adjacents supplémentaires **Démonstration :** Soit les angles adjacents \( \angle A \) et \( \angle B \) tels que \( \angle A + \angle B = 180^\circ \). Les bissectrices de ces angles se rencontrent en un point \( O \). - La bissectrice de \( \angle A \) divise cet angle en deux angles de \( \frac{1}{2} \angle A \). - La bissectrice de \( \angle B \) divise cet angle en deux angles de \( \frac{1}{2} \angle B \). Puisque \( \angle A + \angle B = 180^\circ \), nous avons : \[ \frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} \times 180^\circ = 90^\circ \] Cela montre que les bissectrices de \( \angle A \) et \( \angle B \) forment un angle droit. **Généralisation :** Pour deux angles adjacents \( \angle A \) et \( \angle B \) tels que \( \angle A + \angle B = k \) (où \( k \) est un multiple de \( 180^\circ \)), les bissectrices formeront un angle de \( \frac{k}{2} \). Si \( k = 180^\circ \), alors l'angle formé est \( 90^\circ \). ### 2. Triangles isocèles CAD et CBD **Démonstration :** Soit \( \triangle CAD \) et \( \triangle CBD \) isocèles avec \( CA = CD \) et \( CB = CD \). - Les angles \( \angle CAD \) et \( \angle CBD \) sont égaux respectivement à \( \alpha \) et \( \beta \). - La bissectrice de \( \angle CAD \) et celle de \( \angle CBD \) se rencontrent en un point \( A \). Puisque \( CA = CD \) et \( CB = CD \), les angles \( \angle CAD \) et \( \angle CBD \) sont égaux, ce qui signifie que la droite \( AB \) est la bissectrice commune. ### 3. Polygone EFGHIKLM **Démonstration :** Pour montrer que le polygone \( EFGHIKLM \) est un octogone régulier, nous devons prouver que tous les côtés sont égaux et que tous les angles sont égaux. - Les arcs de cercle décrits à partir de chaque sommet du carré \( ABCD \) sont tous de même rayon, ce qui signifie que les segments \( EF, FG, GH, HI, IK, KL, LM, ME \) sont tous de même longueur. - Les angles formés entre chaque segment sont également égaux, car ils sont tous issus de la même configuration géométrique. Ainsi, \( EFGHIKLM \) est un octogone régulier. ### 4. Aire des figures AEOM, FBGO, HCIO et KDLO Pour calculer l'aire totale de ces figures, nous devons connaître les dimensions des triangles formés par les points \( A, B, C, D \) et le point \( O \). - Chaque triangle est isocèle et partage une base avec le carré. - L'aire d'un triangle est donnée par la formule \( \text{Aire} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur} \). Calculons l'aire totale : \[ \text{Aire totale} = \text{Aire}(AEOM) + \text{Aire}(FBGO) + \text{Aire}(HCIO) + \text{Aire}(KDLO) \] ### 5. Colinéarité des pieds de perpendiculaires **Démonstration :** Soit \( D, E, F \) les pieds des hauteurs du triangle \( ABC \). Les points \( D, E, F \) sont colinéaires si les segments \( DE, EF, DF \) sont alignés. - En utilisant le théorème de la colinéarité, nous pouvons montrer que les pieds des perpendiculaires abaissées depuis \( E \) sur les côtés et sur les hauteurs sont colinéaires. ### 6. Lieu géométrique des points Le lieu géométrique des points d'où l'on peut mener à une sphère trois plans tangents formant un trièdre trirectangle est un point situé à l'intérieur de la sphère, à une distance égale des trois plans tangents. En résumé, nous avons démontré les propriétés géométriques demandées et établi les relations entre les différentes figures. Si vous avez besoin de calculs spécifiques ou d'autres détails, n'hésitez pas à demander.