Let \( f(x)=\frac{3 x+4}{2 x-5} \), for \( x \neq \frac{5}{2} \). (a) For the graph of \( y=f(x) \), find the coordinates of: (i) the \( x \)-intercept; (ii) the \( y \)-intercept. (b) For the graph of \( y=f(x) \), find the equation of: (i) the horizontal asymptote; (ii) the vertical asymptote. (c) Hence sketch the graph of \( y=f(x) \). (d) Find \( f^{-1}(x) \).

Claro, resolvamos cada parte del problema paso a paso en español. ### Dada la función: \[ f(x) = \frac{3x + 4}{2x - 5} \quad \text{para} \quad x \neq \frac{5}{2} \] --- ### **a. Coordenadas de los interceptos** **(i) Intercepto con el eje \( x \):** El intercepto con el eje \( x \) se obtiene cuando \( y = 0 \). \[ 0 = \frac{3x + 4}{2x - 5} \quad \Rightarrow \quad 3x + 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{4}{3} \] **Coordenadas del intercepto con el eje \( x \):** \[ \left( -\frac{4}{3},\ 0 \right) \] --- **(ii) Intercepto con el eje \( y \):** El intercepto con el eje \( y \) se obtiene cuando \( x = 0 \). \[ f(0) = \frac{3(0) + 4}{2(0) - 5} = \frac{4}{-5} = -\frac{4}{5} \] **Coordenadas del intercepto con el eje \( y \):** \[ \left( 0,\ -\frac{4}{5} \right) \] --- ### **b. Ecuaciones de las asíntotas** **(i) Asíntota horizontal:** Para funciones racionales de la forma \( \frac{ax + b}{cx + d} \), si los grados del numerador y denominador son iguales, la asíntota horizontal es la relación de los coeficientes líderes. \[ y = \frac{3}{2} \] **Asíntota horizontal:** \[ y = \frac{3}{2} \] --- **(ii) Asíntota vertical:** La asíntota vertical se encuentra donde el denominador es cero. \[ 2x - 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{5}{2} \] **Asíntota vertical:** \[ x = \frac{5}{2} \] --- ### **c. Esbozo de la gráfica de \( y = f(x) \)** Aunque no puedo dibujar aquí, te describo los elementos clave para esbozar la gráfica: - **Interceptos:** - \( x \)-intercepto en \( \left( -\frac{4}{3},\ 0 \right) \) - \( y \)-intercepto en \( \left( 0,\ -\frac{4}{5} \right) \) - **Asíntotas:** - Horizontal en \( y = \frac{3}{2} \) - Vertical en \( x = \frac{5}{2} \) - **Comportamiento de la gráfica:** - La función se aproxima a la asíntota horizontal conforme \( x \) tiende a \( \pm\infty \). - Cerca de la asíntota vertical, la función tiende a \( \pm\infty \). --- ### **d. Encontrar la función inversa \( f^{-1}(x) \)** Para encontrar la inversa, seguimos estos pasos: 1. **Intercambiar \( x \) y \( y \):** \[ x = \frac{3y + 4}{2y - 5} \] 2. **Resolver para \( y \):** \[ x(2y - 5) = 3y + 4 \\ 2xy - 5x = 3y + 4 \\ 2xy - 3y = 5x + 4 \\ y(2x - 3) = 5x + 4 \\ y = \frac{5x + 4}{2x - 3} \] **Por lo tanto, la función inversa es:** \[ f^{-1}(x) = \frac{5x + 4}{2x - 3} \] ---