3. Bestimmex. Runde das Ergebnis auf Tausendstel. $$ \begin{array}{llll} ext { a) } 5^{x}=7 & ext { c) } 0,5^{x}=0,1 & ext { e) } 3^{x}=2 & ext { g) } 6 \cdot 8^{x}=12 \ ext { b) } 1,2^{x}=5 & ext { d) } 0,7^{x}=1 & ext { f) } 4,2^{x}=0,9 & ext { h) } 0,4 \cdot 0,7^{x}=1,1\end{array} $$

Question

3. Bestimmex. Runde das Ergebnis auf Tausendstel. $$ \begin{array}{llll}	ext { a) } 5^{x}=7 & 	ext { c) } 0,5^{x}=0,1 & 	ext { e) } 3^{x}=2 & 	ext { g) } 6 \cdot 8^{x}=12 \ 	ext { b) } 1,2^{x}=5 & 	ext { d) } 0,7^{x}=1 & 	ext { f) } 4,2^{x}=0,9 & 	ext { h) } 0,4 \cdot 0,7^{x}=1,1\end{array} $$

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**a) $$ 5^x = 7 $$**

1. Schreibe die Gleichung in logarithmischer Form:
   $$
   x = \frac{\ln 7}{\ln 5}
   $$
2. Näherungsweise Berechnung:
   $$
   x \approx \frac{1.9459}{1.6094} \approx 1.209
   $$

---

**b) $$ 1,2^x = 5 $$ (d.h. $$ 1.2^x = 5 $$)**

1. Wende den Logarithmus an:
   $$
   x = \frac{\ln 5}{\ln 1.2}
   $$
2. Berechnung:
   $$
   x \approx \frac{1.6094}{0.1823} \approx 8.823
   $$

---

**c) $$ 0,5^x = 0,1 $$ (d.h. $$ 0.5^x = 0.1 $$)**

1. Logarithmieren:
   $$
   x \cdot \ln 0.5 = \ln 0.1
   $$
2. Umstellen nach $$ x $$:
   $$
   x = \frac{\ln 0.1}{\ln 0.5}
   $$
3. Berechnung:
   $$
   x \approx \frac{-2.3026}{-0.6931} \approx 3.322
   $$

---

**d) $$ 0,7^x = 1 $$ (d.h. $$ 0.7^x = 1 $$)**

1. Da $$ \ln 1 = 0 $$:
   $$
   x \cdot \ln 0.7 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 0
   $$

---

**e) $$ 3^x = 2 $$**

1. Logarithmische Umformung:
   $$
   x = \frac{\ln 2}{\ln 3}
   $$
2. Berechnung:
   $$
   x \approx \frac{0.6931}{1.0986} \approx 0.631
   $$

---

**f) $$ 4,2^x = 0,9 $$ (d.h. $$ 4.2^x = 0.9 $$)**

1. Logarithmieren:
   $$
   x = \frac{\ln 0.9}{\ln 4.2}
   $$
2. Berechnung:
   $$
   x \approx \frac{-0.1054}{1.4351} \approx -0.074
   $$

---

**g) $$ 6 \cdot 8^x = 12 $$**

1. Teile beide Seiten durch 6:
   $$
   8^x = 2
   $$
2. Logarithmieren:
   $$
   x = \frac{\ln 2}{\ln 8}
   $$
3. Hinweis: Da $$ \ln 8 = \ln (2^3) = 3\ln 2 $$, folgt
   $$
   x = \frac{\ln 2}{3 \ln 2} = \frac{1}{3} \approx 0.333
   $$

---

**h) $$ 0,4 \cdot 0,7^x = 1,1 $$ (d.h. $$ 0.4 \cdot 0.7^x = 1.1 $$)**

1. Teile beide Seiten durch 0.4:
   $$
   0.7^x = \frac{1.1}{0.4} = 2.75
   $$
2. Logarithmieren:
   $$
   x = \frac{\ln 2.75}{\ln 0.7}
   $$
3. Berechnung:
   $$
   x \approx \frac{1.0116}{-0.3567} \approx -2.837
   $$

---

Zusammengefasst lauten die gerundeten Lösungen:

- **a)** $$ x \approx 1.209 $$
- **b)** $$ x \approx 8.823 $$
- **c)** $$ x \approx 3.322 $$
- **d)** $$ x = 0 $$
- **e)** $$ x \approx 0.631 $$
- **f)** $$ x \approx -0.074 $$
- **g)** $$ x \approx 0.333 $$
- **h)** $$ x \approx -2.837 $$
**a)** $$ x \approx 1.209 $$ **b)** $$ x \approx 8.823 $$ **c)** $$ x \approx 3.322 $$ **d)** $$ x = 0 $$ **e)** $$ x \approx 0.631 $$ **f)** $$ x \approx -0.074 $$ **g)** $$ x \approx 0.333 $$ **h)** $$ x \approx -2.837 $$

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