(unité graphique 1 cm$$ ) $$, On donne les points $$ A(2 ;-1) $$, $$ B(3 ; 2) $$ et $$ C(-2 ; 3) $$. 1. Place les points $$ A, B $$ et $$ C $$ dans le plan muni du repère $$ (O, I, J) $$. 2. Démontre que les points $$ A, B $$ et $$ C $$ sont non alignés. 3. Détermine une équation de la hauteur $$ (\Delta) $$ du triangle $$ A B C $$ issue du sommet $$ A $$.

Question

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1. **Placement des points**

On place les points dans le plan muni du repère $$ (O,I,J) $$ :
   
   - $$ A(2; -1) $$
   - $$ B(3; 2) $$
   - $$ C(-2; 3) $$

2. **Démonstration que les points ne sont pas alignés**

Pour montrer que les points $$ A $$, $$ B $$ et $$ C $$ ne sont pas alignés, on compare les pentes des droites $$ (AB) $$ et $$ (AC) $$.

- Calcul de la pente $$ m_{AB} $$ :
     
     $$
     m_{AB} = \frac{2 - (-1)}{3 - 2} = \frac{3}{1} = 3
     $$
     
   - Calcul de la pente $$ m_{AC} $$ :
     
     $$
     m_{AC} = \frac{3 - (-1)}{-2 - 2} = \frac{4}{-4} = -1
     $$
     
   Comme $$ m_{AB} \neq m_{AC} $$, les points ne sont pas alignés.

3. **Détermination de l'équation de la hauteur issue de $$ A $$**

La hauteur issue de $$ A $$ est une droite perpendiculaire à la droite $$ (BC) $$ passant par $$ A(2;-1) $$.

- On calcule d'abord la pente de $$ (BC) $$ :
     
     $$
     m_{BC} = \frac{3 - 2}{-2 - 3} = \frac{1}{-5} = -\frac{1}{5}
     $$
     
   - La pente de la hauteur, notée $$ m_{\Delta} $$, est la négative réciproque de $$ m_{BC} $$ :
     
     $$
     m_{\Delta} = 5
     $$
     
   - L'équation de la hauteur passant par $$ A(2;-1) $$ est donnée par la formule point-pente :
     
     $$
     y - (-1) = 5 (x - 2)
     $$
     
     Ce qui s'écrit :
     
     $$
     y + 1 = 5(x - 2)
     $$
     
     En développant et en isolant $$ y $$ :
     
     $$
     y + 1 = 5x - 10 \quad \Longrightarrow \quad y = 5x - 11
     $$
     
   Ainsi, l'équation de la hauteur issue de $$ A $$ est :
   
   $$
   y = 5x - 11
   $$
1. **Placement des points** - $$ A $$ est à 2 cm vers la droite et 1 cm vers le bas. - $$ B $$ est à 3 cm vers la droite et 2 cm vers le haut. - $$ C $$ est à 2 cm vers la gauche et 3 cm vers le haut. 2. **Démonstration que les points ne sont pas alignés** Les pentes des droites $$ AB $$ et $$ AC $$ sont différentes, donc les points ne sont pas alignés. 3. **Équation de la hauteur issue de $$ A $$** La hauteur est la droite perpendiculaire à $$ BC $$ passant par $$ A $$. Son équation est $$ y = 5x - 11 $$.

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