6.- Hallar el área del paralelogramo cuyos vértices se indican: \( A(-6,0), B(1,-4), C(3,1) \) y \( D(-4,5) \) 7 .- Obtenga la ecuación de la recta que pasa por el punto \( (3,-2,1) \) y es paralela a la recta: \( x=1+2 t, \quad y=2-t, \quad z=3 t \) 8.- Obtenga la ecuación del plano que pasa por \( (1,-1,3) \) y es paralelo al plano cuya

Vamos a resolver cada uno de los problemas paso a paso. ### Problema 6: Hallar el área del paralelogramo Los vértices del paralelogramo son \( A(-6,0) \), \( B(1,-4) \), \( C(3,1) \) y \( D(-4,5) \). Para calcular el área del paralelogramo, podemos usar la fórmula del área basada en los vectores de dos lados adyacentes. 1. **Encontrar los vectores**: - Vector \( \vec{AB} = B - A = (1 - (-6), -4 - 0) = (7, -4) \) - Vector \( \vec{AD} = D - A = (-4 - (-6), 5 - 0) = (2, 5) \) 2. **Calcular el producto cruzado**: El área del paralelogramo es igual a la magnitud del producto cruzado de los vectores \( \vec{AB} \) y \( \vec{AD} \). \[ \text{Área} = |\vec{AB} \times \vec{AD}| \] Para vectores en 2D, el producto cruzado se puede calcular como: \[ \text{Área} = |x_1y_2 - x_2y_1| \] Donde \( \vec{AB} = (x_1, y_1) \) y \( \vec{AD} = (x_2, y_2) \). Sustituyendo los valores: \[ \text{Área} = |7 \cdot 5 - 2 \cdot (-4)| \] \[ \text{Área} = |35 + 8| = |43| = 43 \] Por lo tanto, el área del paralelogramo es \( 43 \). ### Problema 7: Ecuación de la recta La recta que pasa por el punto \( (3,-2,1) \) y es paralela a la recta dada \( x=1+2t, \quad y=2-t, \quad z=3t \) tiene la misma dirección que la recta dada. 1. **Identificar el vector director**: El vector director de la recta dada se puede extraer de los coeficientes de \( t \): \[ \vec{d} = (2, -1, 3) \] 2. **Ecuación de la recta**: La ecuación de la recta en forma paramétrica que pasa por el punto \( (3,-2,1) \) y tiene el vector director \( \vec{d} \) es: \[ x = 3 + 2s \] \[ y = -2 - s \] \[ z = 1 + 3s \] Donde \( s \) es un parámetro. ### Problema 8: Ecuación del plano Para obtener la ecuación del plano que pasa por el punto \( (1,-1,3) \) y es paralelo a un plano dado, necesitamos la normal del plano dado. Sin embargo, no se ha proporcionado la ecuación del plano del cual se quiere obtener la paralela. Si se proporciona la ecuación del plano, podemos proceder a encontrar la ecuación del plano paralelo. Por favor, proporciona la ecuación del plano para continuar.