b. Soit \( f^{\prime \prime} \) la dérivée seconde de \( f \) sur \( [0 ; 10] \). Montrer que \[ f^{\prime \prime}(x)=\frac{e^{45-x}\left(e^{4,5-x}-e^{-0,6}\right)}{\left(e^{-0.5}+e^{4,5-x}\right)^{3}} \]

Aufgabe 4 (3 Punkte). 1. Zeigen Sie, dass \( \sum_{k=0}^{n} \frac{k}{2^{k}}=2-\frac{n+2}{2^{n}} \) für alle \( n \in \mathbb{N}_{0} \) gilt. 2. Bestimmen Sie den Grenzwert \( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{k}{2^{k}} \) 3. Zeigen Sie mit Hilfe des Leibniz-Kriteriums, dass die Reihe \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{2 n+1}} \) konvergiert.

\( \lim _{x \rightarrow 2} f(x) \) Siendo f la siguiente función definida por partes: \( f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}, \text { si } x<2 \\ \frac{1}{x}, \\ \text { si } x \geq 2\end{array}\right. \)

f) \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x+x^{2}}{(\sin x)^{3}+2 x} \)

The equation implicitly defines \( u \) as a function of \( x \). \( \quad-\frac{x^{2}}{u^{2}}-\cos (6 \mathrm{u})=-4 \) Find \( \frac{d u}{d x} \).

32. \( y=\operatorname{sen} x-x \cos x+x^{2}+4 x+3 \) Solucion: \( x \operatorname{sen} x+2 x+4 \)