12) Determine whether or not the following is an equivalence relation on the set of all integers. Number a is related to number \( \mathrm{b}(a R b) \) if \( a-b \) is even. Determine whether or not this is an equivalence relation. If it is, prove it. If it is not, show how it fails to be an equivalence relation. ( 7 points)

В координатном пространстве заданы векторы \( \vec{a}(-1 ; 2 ; 0) \) и \( \vec{b}(0,1 ;-2) \). айдите: а) координаты суммы \( (\vec{p}=\vec{a}+\vec{b}) \) і \( (\vec{q}=\vec{a}-\vec{b}) \) разности этих векторов; б) одули векторов \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{p} \) и \( \vec{q} ; \) в) скалярное пронзведение \( \alpha \) векторов \( \vec{a} \) п \( \vec{b} ; \) г) угол \( \varphi \) ежду векторами \( \vec{a} \) і \( \vec{b} \).

1. Diberikan \( H \) subgroup dari grup \( G \) dan \( x, y \in G \). Buktikan bahwa \[ H x=H y \text { jika dan hanya jika } x y^{-1} \in H \] 2. Diberikan \( H \) subgroup dari grup G dan \( \mathrm{x}, y \in G \) maka \( x H=y H \) atau \( x H \cap y H=\emptyset \). Buktikan! 3. Diberikan \( H \) subgroup dari grup \( G \) maka himpunan semua koset kiri yaitu \( \{x H \mid x \in G\} \) membentuk partisi pada G . Buktikan! 4. Diberikan \( H \) subgroup dari grup G dan \( x \in G \), maka order dari \( H \) sama dengan order dari \( x H \) dan sama dengan order dari \( H x \) yaitu: \[ |H|=|x H|=|H x| \]

Which of the following is the nonrenewable energy source that is used to fuel nu- clear power plants? A natural gas B solar radiation C uranium-235 D coal

Find the general solution of the recurrence relation \( x_{n+1}=10 x_{n}+18 n \). The general solution of \( x_{n+1}=10 x_{n}+18 n \) is \( x_{n}=\square \). (Type an expression using \( A \) as the constant and \( n \) as the variable index.)

3. Diberikan \( H \) subgroup dari grup \( G \) maka himpunan semua koset kiri yaitu \( \{x H \mid x \in G\} \) membentuk partisi pada \( G \). Buktikan ! 4. Diberikan \( H \) subgroup dari grup \( G \) dan \( x \in G \), maka order dari \( H \) sama dengan order dari \( x H \) dan sama dengan order dari \( H x \) yaitu: \[ |H|=|x H|=|H x| \text {. } \] 5. Buktikan bahwa jika diberikan \( H \) subgrup dari \( G \), maka terdapat suatu korespondensi \( 1-1 \) antara himpunan semua koset kiri dari \( H \) di \( G \) dengan himpunan semua koset kanan dari \( H \) di \( G \). Lebih lanjut, banyaknya koset kiri dari \( H \) di \( G \) sama dengan banyaknya koset kanan dari \( H \) di \( G \).