A tank contains water with a volume changing based on rain falling into it and water leaking out. If the rate of inflow is given by \( R(t) = 5 + 2\sin(t) \) liters per hour and the leak occurs at a constant rate of 3 liters per hour, formulate a differential equation for the volume of water in the tank over time.

\( \lim _ { n \rightarrow + \infty } \sqrt { m ^ { 2 } - 1 } - ( n + 1 ) = \)

\( \operatorname{Lim}_{n \rightarrow \infty} \frac{1+3+5+\ldots . \text { to } n \text { terms }}{n^{2}} \)

Soit \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) une fonction \( T \)-périodique, telle que \( \lim _{+\infty} f=\ell \). Montrer que \( f \) est constante. Exercice \( \mathbf{7 . 1 . 2}(\star \star \star) \) Soiet \( f,: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \), avec \( g \) périodique, \( f+g \) monotone, et \( \lim _{+\infty} f=0 \). Montrer que \( g \) est constante.

Exercice 8 : Problème de synthèse On considère la fonction \( f \) définie sur \( [0 ;+\infty[ \) par \( f(x)=9 x+(15-2 x) \sqrt{x} \) et la fonction \( g \) définie également sur \( [0 ;+\infty[\operatorname{par} g(x)=18 \sqrt{x}-6 x+15 \). 1. Dresser le tableau de variations complet de la fonction \( g \). 2. Démontrer, sans la résoudre, que l'équation \( g(x)=0 \) admet une unique solution sur \( [0 ;+\infty[ \) que l'on notera \( \alpha \). 3. Foumir un encadrement au centième de \( \alpha \). 4. En déduire le signe signe de \( g(x) \) pour tout \( x \in[0 ;+\infty[ \). 5. Démontrer que, pour tout \( x \in] 0 ;+\infty\left[\right. \) on a \( f^{\prime}(x)=\frac{g(x)}{2 \sqrt{x}} \).

(i) \( \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)(2 n+3)}{(n+2)(2 n+4)} \)