32) Seja $$ T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} $$ tal que $$ [T]_{B_{2}}^{B_{1}}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \ -1 & & 1 \ & 1\end{array} ight] $$ sendo $$ B_{1}=\{(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1)\} $$ e $$ B_{2}=\{(-1,0),(0,-1)\} $$ bases do $$ \mathbb{R}^{3} $$ e $$ \mathbb{R}^{2} $$, respectivamente. a) Encontrar a expressão de $$ T(x, y, z) $$. b) Determinar $$ \operatorname{Im}(T) $$ e uma base para esse subespaço.

Question

32) Seja $$ T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} $$ tal que $$ [T]_{B_{2}}^{B_{1}}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \ -1 & & 1 \ & 1\end{array}ight] $$ sendo $$ B_{1}=\{(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1)\} $$ e $$ B_{2}=\{(-1,0),(0,-1)\} $$ bases do $$ \mathbb{R}^{3} $$ e $$ \mathbb{R}^{2} $$, respectivamente. a) Encontrar a expressão de $$ T(x, y, z) $$. b) Determinar $$ \operatorname{Im}(T) $$ e uma base para esse subespaço.

Delgado Moran · Accepted Answer

a) A expressão de $$ T(x, y, z) $$ é $$ T(x, y, z) = (x - y, -x + y + z) $$. b) A imagem de $$ T $$ é gerada pelos vetores $$ (1, -1) $$ e $$ (0, 1) $$, e uma base para $$ \operatorname{Im}(T) $$ é $$ \{(1, -1), (0, 1)\} $$.

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