Is'agit de déterminer une valeur approchée de l'équation $$ x^{3}+x-1=0 $$ par une méthode de dichotomie. 1. On pose la fonction $$ f $$ définie sur $$ \mathbb{R} $$ par: : $$ f(x)=x^{3}+x-1 $$. Montrer que l'équation $$ f(x)=0 $$ admet une unique solution $$ \alpha $$ sur $$ \mathbb{R} $$ et que $$ \alpha \in[0 ; 1] $$. 2. On voudrait obtenir un encadrement de cette solution $$ \alpha $$. On procède alors par dichotomie, c'est-à-dire qu'on partage l'intervalle $$ [0,1] $$ en deux intervalles $$ \mathrm{I}_{1}=\left[0 ; \frac{1}{2}\right] $$ et $$ \mathrm{I}_{2}=\left[\frac{1}{2} ; 1\right] $$.

Question

Valdez Weber · Accepted Answer

1. L'équation $$ f(x) = x^3 + x - 1 $$ admet une unique solution $$ \alpha $$ dans l'intervalle [0, 1] en raison de la continuité et de la croissance strictement positive de la fonction $$ f $$. 2. Pour encadrer la solution $$ \alpha $$, on procède par dichotomie en divisant l'intervalle [0, 1] en deux et en évaluant $$ f(x) $$ pour affiner l'encadrement.

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