Question \( 2^{*} \) The expression \( x^{2}-x y-2 y^{2}+x+7 y-5 \) can be treated as a function in \( x \) with \( y \) as an arbitrary constant Show that it is positive definite when \( 1<y<\frac{7}{3} \)

b. \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\operatorname{sen} x \cos x)^{6} d x \)

32. \( y=\operatorname{sen} x-x \cos x+x^{2}+4 x+3 \) Solucion: \( x \operatorname{sen} x+2 x+4 \)

f) \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x+x^{2}}{(\sin x)^{3}+2 x} \)

Aufgabe 4 (3 Punkte). 1. Zeigen Sie, dass \( \sum_{k=0}^{n} \frac{k}{2^{k}}=2-\frac{n+2}{2^{n}} \) für alle \( n \in \mathbb{N}_{0} \) gilt. 2. Bestimmen Sie den Grenzwert \( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{k}{2^{k}} \) 3. Zeigen Sie mit Hilfe des Leibniz-Kriteriums, dass die Reihe \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{2 n+1}} \) konvergiert.

Apartir de la función \( f(x)=x^{3}+2 x^{2}-\mathbf{1 1 x - 1 2} \); Determina a) Las intersecciones con los ejes, (eje " \( x \) " y eje " \( y \) ") - Ira Derivada \( \quad 3 x^{2}+4 x-11 \)