Una piramide retta ha per base un rombo che ha area \( 1176 \mathrm{~cm}^{2} \) e una diagonale lun- ga 56 cm . L'apotema della piramide misura 28 cm . Calcola l'altezza della piramide.

1. Determiniamo la seconda diagonale del rombo. Sappiamo che l'area del rombo è data da \[ A=\frac{d_1\cdot d_2}{2} \] dove \( d_1=56 \) cm è la diagonale lunga e \( d_2 \) è la diagonale corta. Quindi, \[ 1176=\frac{56\cdot d_2}{2} \quad \Longrightarrow \quad d_2=\frac{2\cdot 1176}{56} = 42\text{ cm}. \] 2. Calcoliamo il lato del rombo. La relazione tra i lati e le diagonali in un rombo (le diagonali sono perpendicolari tra loro) è \[ s=\sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2+\left(\frac{d_2}{2}\right)^2}. \] Quindi, \[ s=\sqrt{\left(\frac{56}{2}\right)^2+\left(\frac{42}{2}\right)^2}=\sqrt{28^2+21^2}=\sqrt{784+441}=\sqrt{1225}=35\text{ cm}. \] 3. Determiniamo l'apotema della base del rombo, ossia la distanza dal centro del rombo a uno dei suoi lati. In un rombo che ha incircle (dato che le sue diagonali sono perpendicolari) l'inraggio \( r \) (che corrisponde all'apotema) si calcola con \[ r=\frac{A}{s_p}, \] dove il semiperimetro \( s_p \) del rombo è \[ s_p=\frac{4s}{2}=2s. \] In alternativa, si usa la formula \[ A=r\cdot s_p. \] Poiché il perimetro è \( 4\cdot 35=140 \) cm, il semiperimetro è \(70\) cm. Quindi: \[ r=\frac{1176}{70}=16.8\text{ cm}. \] 4. Consideriamo ora il triangolo rettangolo formato dall'altezza \( h \) della piramide, l'apotema della base \( r=16.8 \) cm (cioè la distanza dal centro della base al lato) e l'apotema laterale della piramide, dato pari a 28 cm, che è la lunghezza del segmento perpendicolare dalla sommità della piramide al lato della base. Dal triangolo rettangolo, per il teorema di Pitagora: \[ h=\sqrt{28^2-16.8^2}. \] Calcoliamo: \[ 28^2=784,\quad 16.8^2=282.24, \] quindi, \[ h=\sqrt{784-282.24}=\sqrt{501.76}=22.4\text{ cm}. \] La misura dell'altezza della piramide è dunque \( 22.4 \) cm.