\( 3 \begin{array}{l}36 \text { Tegn følgende funktioners grafer i samme koordinatsystem } \\ \begin{array}{llll}\text { a } f(x)=\frac{8}{x} & \text { c } \quad h(x)=4+\frac{x}{3} & \text { e } j(x)=\frac{2}{x}-6 \\ \text { b } 20=g(x) \cdot x & \text { d } \quad i(x)=x-1 & \text { f } k(x)=\frac{1}{x} \\ \text { g Hvilke af funktionerne er en omvendt proportionalitet? }\end{array}\end{array} \)

Nedenfor gives en gennemgang af, hvordan du kan tegne de enkelte funktioners grafer i ét koordinatsystem, samt en diskussion af, hvilke funktioner der udtrykker en omvendt proportionalitet. ────────────────────────────── 1. Funktionerne og deres udtryk a) f(x) = 8/x   – Dette er en omvendt proportional funktion med konstant 8. Grafen er en hyperbel med lodret asymptote i x = 0 og vandret asymptote i y = 0. b) 20 = g(x) · x   – Løs for g(x): g(x) = 20/x.   – Igen en omvendt proportional funktion, nu med konstant 20. Grafen har samme asymptoter som (a). c) h(x) = 4 + (x/3)   – Dette er en lineær funktion med hældning 1/3 og konstantled 4. Grafen er en ret linje, uden asymptoter. d) i(x) = x – 1   – Også en lineær funktion med hældning 1 og skæringspunkt med y-aksen ved –1. e) j(x) = (2/x) – 6   – Her ses en hyperbel (2/x), som er skiftet 6 enheder nedad. Den lodrette asymptote er x = 0, mens den vandrette asymptote nu er y = –6. f) k(x) = 1/x   – Endnu en omvendt proportional funktion med konstant 1, med asymptoter x = 0 og y = 0. ────────────────────────────── 2. Tips til tegning i samme koordinatsystem • Start med at opstille akserne og notér x = 0 (lodret akse) tydeligt, da de funktioner, der er af formen a/x, har en lodret asymptote her. • For funktionerne a), b), e) og f):   – Marker asymptoterne. For (a), (b) og (f) er den vandrette asymptote y = 0, mens for (e) er den vandrette asymptote y = –6.   – Tegn kurverne med de karakteristiske to grene, én i f.eks. x > 0 og én i x < 0. • For de to lineære funktioner c) og d):   – Find skæringspunktet med y-aksen ved at sætte x = 0 (hvilket giver h(0) = 4 og i(0) = –1).   – Beregn evt. et ekstra punkt for hver funktion (f.eks. x = 3) og tegn de rette linjer. • Husk at tegne alle graferne med forskellig farve eller stregtype, så de skelnes tydeligt. ────────────────────────────── 3. Omvendt proportionalitet En funktion udtrykker en omvendt proportionalitet, hvis den kan skrives på formen   y = k/x hvor k er en konstant, og x ≠ 0. Med udgangspunkt i de opstillede funktioner:   – f(x) = 8/x    → Omvendt proportional (k = 8).   – g(x) = 20/x    → Omvendt proportional (k = 20).   – k(x) = 1/x     → Omvendt proportional (k = 1). Bemærk:   – j(x) = 2/x – 6 har en del af formen 2/x, men da der trækkes 6 fra, er funktionen ikke en ren omvendt proportionalitet (konstantforskyvning medfører, at forholdet mellem x og y ikke er entydigt proportionalt).   – h(x) og i(x) er lineære og viser en direkte proportional ændret med et konstant led (skæringspunktet med y-aksen) og er derfor ikke omvendt proportionale. ────────────────────────────── Svar på del (g): De funktioner, som udtrykker en omvendt proportionalitet, er:   f(x) = 8/x, g(x) = 20/x, og k(x) = 1/x. ────────────────────────────── Konklusion Du kan nu tegne alle de nævnte funktioners grafer i ét koordinatsystem ved at følge ovenstående anvisninger og notere de respektive asymptoter og skæringspunkter. Funktionerne f, g og k er de, der udtrykker en omvendt proportionalitet, da de har formen y = konstant/x. Held og lykke med graftegningen!