2) Dadas las rectas \( 3 x+y-1=0 \) y \( 2 x+m y-8=0 \), determinar \( m \) para que formen un ángulo de \( 45^{\circ} \).
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Para que las dos rectas formen un ángulo de \( 45^{\circ} \), podemos usar la fórmula relacionada con las pendientes \( m_1 \) y \( m_2 \) de las rectas. La condición es que: \[ \tan(\theta) = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = 1 \] Esto implica que \( |m_1 - m_2| = |1 + m_1 m_2| \). Primero, despejamos la pendiente de la primera recta \( 3x + y - 1 = 0 \): Reescribiéndola en forma pendiente-intersección: \[ y = -3x + 1 \] Así, la pendiente de la primera recta (\( m_1 \)) es \( -3 \). Para la segunda recta \( 2x + my - 8 = 0 \): Reescribiéndola: \[ my = -2x + 8 \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{2}{m} x + \frac{8}{m} \] Por lo tanto, la pendiente de la segunda recta (\( m_2 \)) es \( -\frac{2}{m} \). Ahora, aplicamos la condición que hemos mencionado: \[ |-3 - \left(-\frac{2}{m}\right)| = |1 + \left(-3\right)\left(-\frac{2}{m}\right)| \] Simplificamos: \[ |-3 + \frac{2}{m}| = |1 + \frac{6}{m}| \] Descomponemos en dos casos por el valor absoluto. **Caso 1:** \[ -3 + \frac{2}{m} = 1 + \frac{6}{m} \] Resolviendo esta ecuación: \[ -3 - 1 = \frac{6}{m} - \frac{2}{m} \] \[ -4 = \frac{4}{m} \quad \Rightarrow \quad m = -1 \] **Caso 2:** \[ -3 + \frac{2}{m} = -(1 + \frac{6}{m}) \] Resolviendo esta ecuación: \[ -3 + \frac{2}{m} = -1 - \frac{6}{m} \] \[ -3 + 1 = -\frac{6}{m} - \frac{2}{m} \] \[ -2 = -\frac{8}{m} \quad \Rightarrow \quad m = 4 \] Los valores que hace que las rectas formen un ángulo de \( 45^{\circ} \) son \( m = -1 \) y \( m = 4 \).
