2) Dadas las rectas \( 3 x+y-1=0 \) y \( 2 x+m y-8=0 \), determinar \( m \) para que formen un ángulo de \( 45^{\circ} \).

Para determinar los valores de m de modo que las rectas   3x + y – 1 = 0      (1)   2x + m y – 8 = 0     (2) formen un ángulo de 45°, se procede de la siguiente manera: 1. Hallamos las pendientes de ambas rectas.  • Para la recta (1), despejamos y:   3x + y – 1 = 0 ⟹ y = –3x + 1   Por lo tanto, la pendiente m₁ = –3.  • Para la recta (2), despejamos y:   2x + m y – 8 = 0 ⟹ m y = 8 – 2x ⟹ y = (8 – 2x)/m = –(2/m)x + (8/m)   Así, la pendiente m₂ = –2/m. 2. El ángulo θ entre dos rectas cuya pendiente son m₁ y m₂ se obtiene con:   tan(θ) = |(m₂ – m₁) / (1 + m₁·m₂)| Dado que queremos que θ = 45° y tan(45°) = 1, tenemos:   |(m₂ – m₁) / (1 + m₁·m₂)| = 1 Sustituyendo m₁ = –3 y m₂ = –2/m:   |((–2/m) – (–3)) / (1 + (–3)(–2/m))| = 1   ⟹ |((–2/m) + 3) / (1 + 6/m)| = 1 3. Procedemos eliminando el valor absoluto, considerando las dos posibilidades:  Caso A:   ((3 – 2/m) / (1 + 6/m)) = 1   Multiplicamos ambos lados por (1 + 6/m):   3 – 2/m = 1 + 6/m   Multiplicamos por m (m ≠ 0) para eliminar el denominador:   3m – 2 = m + 6   Simplificamos:   3m – m = 6 + 2 ⟹ 2m = 8 ⟹ m = 4  Caso B:   ((3 – 2/m) / (1 + 6/m)) = –1   Multiplicamos ambos lados por (1 + 6/m):   3 – 2/m = –(1 + 6/m) = –1 – 6/m   Multiplicamos por m:   3m – 2 = –m – 6   Simplificamos:   3m + m = –6 + 2 ⟹ 4m = –4 ⟹ m = –1 4. Verificación final:  • Para m = 4, m₂ = –2/4 = –0.5. Aplicamos la fórmula del ángulo:   tan(θ) = |((–0.5) – (–3)) / (1 + (–3)(–0.5))| = |(2.5) / (1 + 1.5)| = 2.5/2.5 = 1.  • Para m = –1, m₂ = –2/(–1) = 2. Entonces:   tan(θ) = |(2 – (–3)) / (1 + (–3)(2))| = |5 / (1 – 6)| = 5/5 = 1. En ambos casos se cumple que tan(θ) = 1, es decir, θ = 45°. Respuesta: Los valores de m son m = 4 y m = –1.