19) $$ \lim _{x ightarrow 1}\left[\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^{3}} ight]= $$ Lím $$ =-1 $$ $$ \begin{array}{l} ext { FIUNI } \ ext { 20) } \begin{array}{l} ext { lím } \ x ightarrow 1\end{array} \frac{x^{n}-1}{x-1}= \ ext { ANÁLISIS MATEMÁTICO I }\end{array} $$ \begin{tabular}{llll} (siendo $$ n $$ es un entero positivo) & Ing. José $$ P $$ \ \hline\end{tabular}

Question

19) $$ \lim _{x ightarrow 1}\left[\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^{3}}ight]= $$ Lím $$ =-1 $$ $$ \begin{array}{l}	ext { FIUNI } \ 	ext { 20) } \begin{array}{l}	ext { lím } \ x ightarrow 1\end{array} \frac{x^{n}-1}{x-1}= \ 	ext { ANÁLISIS MATEMÁTICO I }\end{array} $$ \begin{tabular}{llll} (siendo $$ n $$ es un entero positivo) & Ing. José $$ P $$ \ \hline\end{tabular}

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Evaluate the limit by following steps:
- step0: Evaluate using transformations:
  $$\lim _{x\rightarrow 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^{3}}\right)$$
- step1: Simplify:
  $$\lim _{x\rightarrow 1}\left(\frac{-2-x}{1+x+x^{2}}\right)$$
- step2: Reduce the fraction:
  $$\lim _{x\rightarrow 1}\left(-\frac{2+x}{1+x+x^{2}}\right)$$
- step3: Rewrite the expression:
  $$\frac{\lim _{x\rightarrow 1}\left(-2-x\right)}{\lim _{x\rightarrow 1}\left(1+x+x^{2}\right)}$$
- step4: Evaluate:
  $$\frac{-3}{\lim _{x\rightarrow 1}\left(1+x+x^{2}\right)}$$
- step5: Evaluate:
  $$\frac{-3}{3}$$
- step6: Reduce the numbers:
  $$\frac{-1}{1}$$
- step7: Calculate:
  $$-1$$
Para resolver el primer límite:

1. **Límite a calcular**: 
   $$
   \lim_{x \rightarrow 1}\left[\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^{3}}\right]
   $$

2. **Sustitución directa**: Si sustituimos $$ x = 1 $$, obtenemos una forma indeterminada $$ \frac{1}{0} - \frac{3}{0} $$, lo que indica que debemos simplificar la expresión.

3. **Simplificación**:
   - El término $$ 1 - x^3 $$ se puede factorizar como $$ (1-x)(1+x+x^2) $$.
   - Entonces, podemos reescribir el segundo término:
   $$
   \frac{3}{1-x^3} = \frac{3}{(1-x)(1+x+x^2)}
   $$

4. **Reescribiendo la expresión**:
   $$
   \frac{1}{1-x} - \frac{3}{(1-x)(1+x+x^2)} = \frac{(1+x+x^2) - 3}{(1-x)(1+x+x^2)}
   $$

5. **Simplificando el numerador**:
   $$
   1 + x + x^2 - 3 = x^2 + x - 2 = (x-1)(x+2)
   $$

6. **Sustituyendo en la expresión**:
   $$
   \frac{(x-1)(x+2)}{(1-x)(1+x+x^2)} = \frac{-(x-1)(x+2)}{(x-1)(1+x+x^2)}
   $$

7. **Cancelando $$ (x-1) $$**:
   $$
   = \frac{-(x+2)}{1+x+x^2}
   $$

8. **Sustituyendo $$ x = 1 $$**:
   $$
   = \frac{-(1+2)}{1+1+1} = \frac{-3}{3} = -1
   $$

Por lo tanto, el resultado del primer límite es:
$$
\lim_{x \rightarrow 1}\left[\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^{3}}\right] = -1
$$

---

Para el segundo límite:

1. **Límite a calcular**:
   $$
   \lim_{x \rightarrow 1}\frac{x^{n}-1}{x-1}
   $$

2. **Forma indeterminada**: Al sustituir $$ x = 1 $$, obtenemos $$ \frac{0}{0} $$, lo que indica que debemos aplicar la regla de L'Hôpital o factorizar.

3. **Factorización**: El numerador $$ x^n - 1 $$ se puede factorizar como $$ (x-1)(x^{n-1} + x^{n-2} + \ldots + 1) $$.

4. **Reescribiendo la expresión**:
   $$
   \frac{(x-1)(x^{n-1} + x^{n-2} + \ldots + 1)}{x-1}
   $$

5. **Cancelando $$ (x-1) $$**:
   $$
   = x^{n-1} + x^{n-2} + \ldots + 1
   $$

6. **Sustituyendo $$ x = 1 $$**:
   $$
   = 1^{n-1} + 1^{n-2} + \ldots + 1 = n
   $$

Por lo tanto, el resultado del segundo límite es:
$$
\lim_{x \rightarrow 1}\frac{x^{n}-1}{x-1} = n
$$

Resumiendo:
- El primer límite es $$-1$$.
- El segundo límite es $$n$$.
El primer límite es $$-1$$, y el segundo límite es $$n$$.

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