Question
upstudy study bank question image url

Considere una fuerza de interés \( \delta_{t}=\frac{2}{2 t+k} \). Se tiene la siguiente información: - Un depósito de 75 euros a tiempo cero acumulará \( X \) euros al final de tres años. - El valor presente a tiempo tres, de un flujo de 150 euros a tiempo 5 es igual a \( X \) euros. Determine el valor de \( X \).

Ask by Luna Brooks. in Mexico
Mar 15,2025

Upstudy AI Solution

Tutor-Verified Answer

Answer

El valor de \( X \) es 120 euros.

Solution

Sign in to Unlock Answers for Free!

A Learning Platform Trusted by Millions of Real Students and Teachers.

star-icon Unlock

Answered by UpStudy AI and reviewed by a Professional Tutor

Bonus Knowledge

Para resolver el problema, primero necesitamos calcular el valor \( X \) que se acumula de un depósito de 75 euros a los 3 años utilizando la fuerza de interés \( \delta_{t}=\frac{2}{2t+k} \). ### Paso 1: Calcular el valor de \( X \) La acumulación de un capital bajo una fuerza de interés se hace a través de la siguiente relación: \[ A(t) = A(0) \cdot e^{\int_0^t \delta_s \, ds} \] Donde \( A(0) \) es el capital inicial y \( A(t) \) es el capital acumulado al tiempo \( t \). Ahora calculamos \( \int_0^3 \delta_s \, ds \): \[ \delta_{s} = \frac{2}{2s + k} \] Entonces, \[ \int_0^3 \delta_s \, ds = \int_0^3 \frac{2}{2s + k} \, ds \] Usamos el cambio de variable \( u = 2s + k \rightarrow du = 2 \, ds \Rightarrow ds = \frac{du}{2} \), y los límites se transforman de \( s=0 \) a \( s=3 \): - Para \( s=0 \): \( u = k \) - Para \( s=3 \): \( u = 6 + k \) Ahora, la integral se transforma a: \[ \int_k^{6+k} \frac{2}{u} \cdot \frac{du}{2} = \int_k^{6+k} \frac{1}{u} \, du = \ln |u| \bigg|_k^{6+k} \] Resultando en: \[ \ln(6 + k) - \ln(k) = \ln\left(\frac{6+k}{k}\right) \] Por lo tanto, la acumulación queda así: \[ X = 75 \cdot e^{\ln\left(\frac{6+k}{k}\right)} = 75 \cdot \frac{6+k}{k} \] ### Paso 2: Valor presente del flujo de 150 euros El flujo de 150 euros a tiempo 5, trasladado a tiempo 3 es: \[ VP = 150 \cdot e^{-\int_3^5 \delta_t \, dt} \] Calculando \( \int_3^5 \delta_t \, dt \): \[ \int_3^5 \delta_t \, dt = \int_3^5 \frac{2}{2t+k} \, dt \] Usando el mismo método de cambio de variable: - Para \( t=3 \): \( u = 6 + k \) - Para \( t=5 \): \( u = 10 + k \) La integral se escribe como: \[ \int_{6+k}^{10+k} \frac{2}{u} \cdot \frac{du}{2} = \int_{6+k}^{10+k} \frac{1}{u} \, du = \ln |u| \bigg|_{6+k}^{10+k} \] Esto da como resultado: \[ \ln(10 + k) - \ln(6 + k) = \ln\left(\frac{10+k}{6+k}\right) \] Por lo tanto, el valor presente se calcula como: \[ VP = 150 \cdot e^{-\ln\left(\frac{10+k}{6+k}\right)} = 150 \cdot \frac{6 + k}{10 + k} \] ### Paso 3: Igualar y resolver para \( X \) Sabemos que este VP es igual a \( X \): \[ X = 150 \cdot \frac{6 + k}{10 + k} \] Igualando ambos valores de \( X \): \[ 75 \cdot \frac{6 + k}{k} = 150 \cdot \frac{6 + k}{10 + k} \] Cancelamos \( 6 + k \) (asumiendo que no es cero) y multiplicamos por \( k(10+k) \): \[ 75(10 + k) = 150k \implies 750 + 75k = 150k \implies 750 = 150k - 75k \implies 750 = 75k \implies k = 10 \] ### Paso 4: Calcular \( X \) Ahora tenemos \( k = 10 \). Sustituyendo en la expresión de \(

Related Questions

Try Premium now!
Try Premium and ask Thoth AI unlimited math questions now!
Maybe later Go Premium
Study can be a real struggle
Why not UpStudy it?
Select your plan below
Premium

You can enjoy

Start now
  • Step-by-step explanations
  • 24/7 expert live tutors
  • Unlimited number of questions
  • No interruptions
  • Full access to Answer and Solution
  • Full Access to PDF Chat, UpStudy Chat, Browsing Chat
Basic

Totally free but limited

  • Limited Solution
Welcome to UpStudy!
Please sign in to continue the Thoth AI Chat journey
Continue with Email
Or continue with
By clicking “Sign in”, you agree to our Terms of Use & Privacy Policy