Considere una fuerza de interés $$ \delta_{t}=\frac{2}{2 t+k} $$. Se tiene la siguiente información: - Un depósito de 75 euros a tiempo cero acumulará $$ X $$ euros al final de tres años. - El valor presente a tiempo tres, de un flujo de 150 euros a tiempo 5 es igual a $$ X $$ euros. Determine el valor de $$ X $$.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

1. **Acumulación del depósito de 75 euros de tiempo 0 a 3**

La cantidad acumulada $$ X $$ se obtiene con el factor $$\displaystyle e^{\int_0^3 \delta_t\,dt}$$. Dado que
   $$
   \delta_t = \frac{2}{2t+k},
   $$
   se tiene
   $$
   \int_{0}^{3}\frac{2}{2t+k}\,dt.
   $$
   
   Haciendo el cambio de variable $$ u = 2t + k $$, se tiene $$ du = 2dt $$ o $$ dt = \frac{du}{2} $$. Cuando $$ t=0 $$, $$ u=k $$ y cuando $$ t=3 $$, $$ u=6+k $$. Entonces:
   $$
   \int_{0}^{3}\frac{2}{2t+k}\,dt = \int_{u=k}^{6+k} \frac{2}{u}\cdot \frac{du}{2} = \int_{k}^{6+k} \frac{1}{u}\,du = \ln(6+k)-\ln(k)=\ln\left(\frac{6+k}{k}\right).
   $$
   
   Por tanto, el factor de acumulación es:
   $$
   e^{\ln\left(\frac{6+k}{k}\right)}=\frac{6+k}{k}.
   $$
   
   Así, el monto acumulado al final de 3 años es:
   $$
   X = 75\cdot\frac{6+k}{k}.
   $$

2. **Valor presente a tiempo 3 de 150 euros pagaderos en tiempo 5**

El valor presente de una cantidad $$ A $$ pagadera en tiempo $$ t $$ es:
   $$
   A\cdot e^{-\int_{s}^{t}\delta_u \,du},
   $$
   donde $$ s $$ es el tiempo de valoración. En este caso, para valorar 150 euros a tiempo 3, se calcula:
   $$
   \text{Valor presente a tiempo 3} = 150\cdot e^{-\int_{3}^{5}\delta_t\,dt}.
   $$
   
   Se evalúa la integral:
   $$
   \int_{3}^{5}\frac{2}{2t+k}\,dt.
   $$
   
   Nuevamente, con el cambio de variable $$ u=2t+k $$ (luego $$ du=2dt $$, $$ dt=\frac{du}{2} $$), cuando $$ t=3 $$, $$ u=6+k $$ y cuando $$ t=5 $$, $$ u=10+k $$. Así,
   $$
   \int_{3}^{5}\frac{2}{2t+k}\,dt = \int_{6+k}^{10+k}\frac{2}{u}\cdot\frac{du}{2} = \int_{6+k}^{10+k}\frac{1}{u}\,du = \ln(10+k) - \ln(6+k) = \ln\left(\frac{10+k}{6+k}\right).
   $$
   
   Entonces el factor de descuento es:
   $$
   e^{-\ln\left(\frac{10+k}{6+k}\right)} = \frac{6+k}{10+k}.
   $$
   
   Así, el valor presente a tiempo 3 es:
   $$
   X = 150\cdot\frac{6+k}{10+k}.
   $$

3. **Determinación de $$ k $$ y $$ X $$**

Se tienen dos expresiones para $$ X $$:
   $$
   75\cdot\frac{6+k}{k} = 150\cdot\frac{6+k}{10+k}.
   $$
   
   Como $$ 6+k>0 $$ se puede simplificar multiplicando ambos lados por $$ k(10+k) $$ y cancelando $$6+k$$:
   $$
   75\cdot(10+k) = 150\cdot k.
   $$
   
   Dividiendo ambos lados entre 75:
   $$
   10+k = 2k \quad \Rightarrow \quad 10 = k.
   $$
   
   Con $$ k=10 $$, se sustituye en alguna de las expresiones para $$ X $$. Por ejemplo:
   $$
   X = 75\cdot\frac{6+10}{10} = 75\cdot\frac{16}{10}=75\cdot1.6=120.
   $$

4. **Respuesta final**

$$
   X = 120 \text{ euros.}
   $$
El valor de $$ X $$ es 120 euros.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Bonus Knowledge

Related Questions

Latest Calculus Questions