Desuelve utilizando \( \frac{\left(3^{-2}\right)\left(3^{6}\right)(27)^{-1}}{(9)\left(5^{-6}\right)} \) \( \frac{0.5^{\frac{5}{2}} \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{4}}}{0.5^{2}} \)

1) Procedemos a simplificar la expresión \[ \frac{\left(3^{-2}\right)\left(3^{6}\right)(27)^{-1}}{(9)\left(5^{-6}\right)} \] **Paso 1.1:** Usamos la propiedad de los exponentes en el numerador: \[ 3^{-2} \cdot 3^{6} = 3^{-2+6} = 3^{4} \] y recordamos que \[ 27 = 3^{3} \quad \Longrightarrow \quad (27)^{-1} = 3^{-3}. \] **Paso 1.2:** Multiplicamos los factores del numerador: \[ 3^{4} \cdot 3^{-3} = 3^{4-3} = 3. \] **Paso 1.3:** En el denominador, expresamos \(9\) como \(3^2\): \[ 9 = 3^{2}, \] quedando \[ 3^{2} \cdot 5^{-6}. \] **Paso 1.4:** Escribimos la fracción como \[ \frac{3}{3^{2} \cdot 5^{-6}}. \] Para simplificar la división entre potencias, separamos: \[ \frac{3}{3^{2}} \cdot \frac{1}{5^{-6}} = 3^{-1} \cdot 5^{6}. \] **Paso 1.5:** Finalmente, expresamos el resultado: \[ 3^{-1} \cdot 5^{6} = \frac{5^{6}}{3}. \] 2) Ahora simplificamos la expresión \[ \frac{0.5^{\frac{5}{2}} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{4}}}{0.5^{2}}. \] **Paso 2.1:** Notamos que \(0.5 = \frac{1}{2}\). Entonces sustituimos: \[ \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{5}{2}} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{4}}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}. \] **Paso 2.2:** Sumamos los exponentes en el numerador: \[ \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{5}{2}+\frac{1}{4}}. \] Para ello se lleva a común denominador: \[ \frac{5}{2} = \frac{10}{4}, \quad \frac{10}{4} + \frac{1}{4} = \frac{11}{4}. \] Así, el numerador es \[ \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{11}{4}}. \] **Paso 2.3:** En el denominador tenemos \[ \left(\frac{1}{2}\right)^{2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{8}{4}}. \] **Paso 2.4:** Al dividir las potencias de la misma base, restamos exponentes: \[ \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{11}{4}}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{8}{4}}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{11}{4}-\frac{8}{4}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{3}{4}}. \] **Resultados Finales:** 1) \(\displaystyle \frac{5^{6}}{3}\) 2) \(\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{3}{4}}\)