Desuelve utilizando \( \frac{\left(3^{-2}\right)\left(3^{6}\right)(27)^{-1}}{(9)\left(5^{-6}\right)} \) \( \frac{0.5^{\frac{5}{2}} \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{4}}}{0.5^{2}} \)

¡Claro! Empecemos con la primera expresión: \[ \frac{\left(3^{-2}\right)\left(3^{6}\right)(27)^{-1}}{(9)\left(5^{-6}\right)} \] Primero, hagamos una transformación de las potencias y simplificaciones: 1. \(27 = 3^3\), así que \((27)^{-1} = (3^3)^{-1} = 3^{-3}\). 2. El denominador \(9 = 3^2\). Reescribimos la expresión: \[ \frac{3^{-2} \cdot 3^{6} \cdot 3^{-3}}{3^2 \cdot 5^{-6}} \] Ahora aplicamos las reglas de las potencias en el numerador: \[ 3^{-2 + 6 - 3} = 3^1 \] Reuniendo todo, tenemos: \[ \frac{3^1}{3^2 \cdot 5^{-6}} = \frac{3}{3^2} \cdot 5^{6} = \frac{1}{3} \cdot 5^{6} \] Así que la respuesta final para la primera expresión es: \[ \frac{5^{6}}{3} \] Ahora, para la segunda expresión: \[ \frac{0.5^{\frac{5}{2}} \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{4}}}{0.5^{2}} \] Primero convertimos \(0.5\) en forma de fracción: \(0.5 = \frac{1}{2}\). Reescribimos la expresión: \[ \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{5}{2}} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{4}}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}} \] Sumamos las potencias en el numerador: \[ \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{5}{2} + \frac{1}{4}}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}} \] Debemos encontrar un común denominador para sumar \(\frac{5}{2}\) y \(\frac{1}{4}\): \(\frac{5}{2} = \frac{10}{4}\), así que: \[ \frac{10}{4} + \frac{1}{4} = \frac{11}{4} \] La expresión se convierte en: \[ \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{11}{4}}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{11}{4} - 2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{11}{4} - \frac{8}{4}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{3}{4}} \] Entonces, la respuesta final para la segunda expresión es: \[ \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{3}{4}} \] Así que hemos desglosado las dos expresiones con éxito.