14. ¿Cuál de los siguientes números NO está entre $$ 1,0 \overline{6} $$ y 1,1 ? A) $$ \frac{49}{45} \rightarrow 1,0 \overline{8} $$ B) $$ \frac{27}{25} \rightarrow 1,08 $$ C) $$ \frac{267}{250} \rightarrow 1,068 $$ D) $$ 1 \frac{4}{33} \rightarrow 1, \overline{12} $$

Question

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Para resolver el problema, primero necesitamos determinar los límites de los números $$ 1,0 \overline{6} $$ y $$ 1,1 $$.

1. **Convertir $$ 1,0 \overline{6} $$ a una fracción:**
   - $$ 1,0 \overline{6} = 1 + 0,0 \overline{6} $$
   - Sea $$ x = 0,0 \overline{6} $$.
   - Multiplicamos por 10: $$ 10x = 0,6 \overline{6} $$.
   - Restamos $$ x $$ de $$ 10x $$: $$ 10x - x = 0,6 \overline{6} - 0,0 \overline{6} $$ lo que da $$ 9x = 0,6 $$.
   - Por lo tanto, $$ x = \frac{0,6}{9} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} $$.
   - Entonces, $$ 1,0 \overline{6} = 1 + \frac{1}{15} = \frac{15}{15} + \frac{1}{15} = \frac{16}{15} $$.

2. **Convertir $$ 1,1 $$ a una fracción:**
   - $$ 1,1 = \frac{11}{10} $$.

Ahora tenemos los límites:
- $$ 1,0 \overline{6} = \frac{16}{15} $$
- $$ 1,1 = \frac{11}{10} $$

3. **Convertir las opciones a decimales y compararlas:**
   - A) $$ \frac{49}{45} \rightarrow 1,0 \overline{8} $$ (aproximadamente $$ 1,0888... $$)
   - B) $$ \frac{27}{25} \rightarrow 1,08 $$
   - C) $$ \frac{267}{250} \rightarrow 1,068 $$
   - D) $$ 1 \frac{4}{33} \rightarrow 1, \overline{12} $$ (aproximadamente $$ 1,1212... $$)

4. **Comparar cada opción con los límites:**
   - $$ \frac{16}{15} \approx 1,0667 $$
   - $$ \frac{11}{10} = 1,1 $$

Ahora, evaluamos cada opción:
- A) $$ 1,0 \overline{8} \approx 1,0888 $$ (está fuera del rango)
- B) $$ 1,08 $$ (está fuera del rango)
- C) $$ 1,068 $$ (está dentro del rango)
- D) $$ 1, \overline{12} \approx 1,1212 $$ (está fuera del rango)

5. **Conclusión:**
Los números que están fuera del rango son A, B y D. Sin embargo, el que más claramente no está entre $$ 1,0 \overline{6} $$ y $$ 1,1 $$ es:

**Respuesta: A) $$ \frac{49}{45} \rightarrow 1,0 \overline{8} $$**.
La opción A) $$ \frac{49}{45} \rightarrow 1,0 \overline{8} $$ no está entre $$ 1,0 \overline{6} $$ y $$ 1,1 $$.

14. ¿Cuál de los siguientes números NO está entre \( 1,0 \overline{6} \) y 1,1 ? A) \( \frac{49}{45} \rightarrow 1,0 \overline{8} \) B) \( \frac{27}{25} \rightarrow 1,08 \) C) \( \frac{267}{250} \rightarrow 1,068 \) D) \( 1 \frac{4}{33} \rightarrow 1, \overline{12} \)

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