14. ¿Cuál de los siguientes números NO está entre \( 1,0 \overline{6} \) y 1,1 ? A) \( \frac{49}{45} \rightarrow 1,0 \overline{8} \) B) \( \frac{27}{25} \rightarrow 1,08 \) C) \( \frac{267}{250} \rightarrow 1,068 \) D) \( 1 \frac{4}{33} \rightarrow 1, \overline{12} \)

Para resolver el problema, primero necesitamos determinar los límites de los números \( 1,0 \overline{6} \) y \( 1,1 \). 1. **Convertir \( 1,0 \overline{6} \) a una fracción:** - \( 1,0 \overline{6} = 1 + 0,0 \overline{6} \) - Sea \( x = 0,0 \overline{6} \). - Multiplicamos por 10: \( 10x = 0,6 \overline{6} \). - Restamos \( x \) de \( 10x \): \( 10x - x = 0,6 \overline{6} - 0,0 \overline{6} \) lo que da \( 9x = 0,6 \). - Por lo tanto, \( x = \frac{0,6}{9} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} \). - Entonces, \( 1,0 \overline{6} = 1 + \frac{1}{15} = \frac{15}{15} + \frac{1}{15} = \frac{16}{15} \). 2. **Convertir \( 1,1 \) a una fracción:** - \( 1,1 = \frac{11}{10} \). Ahora tenemos los límites: - \( 1,0 \overline{6} = \frac{16}{15} \) - \( 1,1 = \frac{11}{10} \) 3. **Convertir las opciones a decimales y compararlas:** - A) \( \frac{49}{45} \rightarrow 1,0 \overline{8} \) (aproximadamente \( 1,0888... \)) - B) \( \frac{27}{25} \rightarrow 1,08 \) - C) \( \frac{267}{250} \rightarrow 1,068 \) - D) \( 1 \frac{4}{33} \rightarrow 1, \overline{12} \) (aproximadamente \( 1,1212... \)) 4. **Comparar cada opción con los límites:** - \( \frac{16}{15} \approx 1,0667 \) - \( \frac{11}{10} = 1,1 \) Ahora, evaluamos cada opción: - A) \( 1,0 \overline{8} \approx 1,0888 \) (está fuera del rango) - B) \( 1,08 \) (está fuera del rango) - C) \( 1,068 \) (está dentro del rango) - D) \( 1, \overline{12} \approx 1,1212 \) (está fuera del rango) 5. **Conclusión:** Los números que están fuera del rango son A, B y D. Sin embargo, el que más claramente no está entre \( 1,0 \overline{6} \) y \( 1,1 \) es: **Respuesta: A) \( \frac{49}{45} \rightarrow 1,0 \overline{8} \)**.