$$ ( y + e ^ { x } ) d x + ( x + e ^ { y } ) d y = 0 $$

Question

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Para resolver la ecuación diferencial $$ ( y + e ^ { x } ) d x + ( x + e ^ { y } ) d y = 0 $$, primero reorganizaremos la ecuación en una forma más manejable.

1. **Reescribimos la ecuación:**
   $$
   ( y + e ^ { x } ) d x + ( x + e ^ { y } ) d y = 0
   $$
   Esto se puede reescribir como:
   $$
   \frac{dy}{dx} = -\frac{y + e^x}{x + e^y}
   $$

2. **Identificamos que es una ecuación diferencial exacta:**
   Para que la ecuación sea exacta, debe cumplirse que:
   $$
   \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}
   $$
   donde $$ M = y + e^x $$ y $$ N = x + e^y $$.

Calculamos las derivadas parciales:
   - $$ \frac{\partial M}{\partial y} = 1 $$
   - $$ \frac{\partial N}{\partial x} = 1 $$

Como ambas derivadas son iguales, la ecuación es exacta.

3. **Encontramos la función potencial:**
   Buscamos una función $$ \Psi(x, y) $$ tal que:
   $$
   \frac{\partial \Psi}{\partial x} = M \quad \text{y} \quad \frac{\partial \Psi}{\partial y} = N
   $$

Integrando $$ M $$ con respecto a $$ x $$:
   $$
   \Psi(x, y) = \int (y + e^x) \, dx = yx + e^x + h(y)
   $$
   donde $$ h(y) $$ es una función de $$ y $$.

Ahora, derivamos $$ \Psi $$ con respecto a $$ y $$:
   $$
   \frac{\partial \Psi}{\partial y} = x + h'(y)
   $$
   Igualamos esto a $$ N $$:
   $$
   x + h'(y) = x + e^y
   $$
   De aquí, deducimos que:
   $$
   h'(y) = e^y \implies h(y) = e^y + C
   $$

4. **La función potencial completa es:**
   $$
   \Psi(x, y) = yx + e^x + e^y + C = 0
   $$

5. **La solución general de la ecuación diferencial es:**
   $$
   yx + e^x + e^y = C
   $$

Esta es la solución de la ecuación diferencial dada.
La solución de la ecuación diferencial $$ ( y + e ^ { x } ) d x + ( x + e ^ { y } ) d y = 0 $$ es: $$ yx + e^x + e^y = C $$ donde $$ C $$ es una constante.

\( ( y + e ^ { x } ) d x + ( x + e ^ { y } ) d y = 0 \)

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