Sumas de Riemann Obtenga el àrea bajo la curva de la funcion: \[ f(x)=x^{3}+2 x^{2}+1 \] Intervalo: \( x_{1}=0 \) y \( x_{2}=2 \)

Para calcular el área bajo la curva de la función \( f(x) = x^{3} + 2x^{2} + 1 \) entre el intervalo \( [0, 2] \) utilizando la suma de Riemann, primero se dividen el intervalo en \( n \) subintervalos de igual longitud. La longitud de cada subintervalo es \( \Delta x = \frac{(b-a)}{n} = \frac{2-0}{n} = \frac{2}{n} \). Las coordenadas de la izquierda serán \( x_i = 0 + i\Delta x \). Calculamos \( f\left(0\right), f\left(\frac{2}{n}\right), ... , f\left(\frac{2(n-1)}{n}\right) \) y formamos la suma de Riemann \( S_n = \Delta x \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \). Luego, al tomar el límite cuando \( n \rightarrow \infty \), obtendremos el valor exacto del área. Ahora, si evaluamos la integral definida para obtener el área, nos dará: \[ \int_{0}^{2} (x^3 + 2x^2 + 1)dx = \left[\frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} + x\right]_{0}^{2} \] Calculando: \[ = \left[\frac{2^4}{4} + \frac{2(2^3)}{3} + 2\right] - \left[0\right] = \left[4 + \frac{16}{3} + 2\right] = 6 + \frac{16}{3} = \frac{18}{3} + \frac{16}{3} = \frac{34}{3} \] Por lo tanto, el área bajo la curva entre 0 y 2 es \(\frac{34}{3}\) unidades cuadradas.