2) a) Resolver a) \( \int\left(x^{2}+1\right) \cdot \ln x d x \quad \) b) \( \int \frac{x^{2} \cdot \cos x-\sqrt[3]{x}+5 \cdot x}{4 \cdot x^{2}} d x \)

Para resolver las integrales propuestas, utilizaremos técnicas de integración como la integración por partes y la simplificación de fracciones. ### a) \( \int\left(x^{2}+1\right) \cdot \ln x \, dx \) Usaremos la técnica de integración por partes, que se basa en la fórmula: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Elegimos: - \( u = \ln x \) \(\Rightarrow du = \frac{1}{x} \, dx\) - \( dv = (x^2 + 1) \, dx \) \(\Rightarrow v = \frac{x^3}{3} + x\) Ahora aplicamos la fórmula de integración por partes: \[ \int (x^2 + 1) \ln x \, dx = \left(\ln x \left(\frac{x^3}{3} + x\right)\right) - \int \left(\frac{x^3}{3} + x\right) \frac{1}{x} \, dx \] Simplificamos el segundo término: \[ \int \left(\frac{x^3}{3} + x\right) \frac{1}{x} \, dx = \int \left(\frac{x^2}{3} + 1\right) \, dx = \frac{1}{3} \int x^2 \, dx + \int 1 \, dx \] Calculamos las integrales: \[ \frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{3} + x = \frac{x^3}{9} + x \] Sustituyendo todo en la fórmula de integración por partes: \[ \int (x^2 + 1) \ln x \, dx = \ln x \left(\frac{x^3}{3} + x\right) - \left(\frac{x^3}{9} + x\right) + C \] Donde \(C\) es la constante de integración. ### b) \( \int \frac{x^{2} \cdot \cos x - \sqrt[3]{x} + 5 \cdot x}{4 \cdot x^{2}} \, dx \) Primero simplificamos la fracción: \[ \int \frac{x^{2} \cdot \cos x}{4 \cdot x^{2}} \, dx - \int \frac{\sqrt[3]{x}}{4 \cdot x^{2}} \, dx + \int \frac{5 \cdot x}{4 \cdot x^{2}} \, dx \] Esto se convierte en: \[ \frac{1}{4} \int \cos x \, dx - \frac{1}{4} \int x^{-\frac{5}{3}} \, dx + \frac{5}{4} \int x^{-1} \, dx \] Ahora resolvemos cada integral: 1. \( \frac{1}{4} \int \cos x \, dx = \frac{1}{4} \sin x + C_1 \) 2. \( -\frac{1}{4} \int x^{-\frac{5}{3}} \, dx = -\frac{1}{4} \cdot \left(-\frac{3}{2} x^{-\frac{2}{3}}\right) = \frac{3}{8} x^{-\frac{2}{3}} + C_2 \) 3. \( \frac{5}{4} \int x^{-1} \, dx = \frac{5}{4} \ln |x| + C_3 \) Sumando todas las partes: \[ \int \frac{x^{2} \cdot \cos x - \sqrt[3]{x} + 5 \cdot x}{4 \cdot x^{2}} \, dx = \frac{1}{4} \sin x + \frac{3}{8} x^{-\frac{2}{3}} + \frac{5}{4} \ln |x| + C \] Donde \(C\) es la constante de integración. ### Resumen de resultados: a) \( \int\left(x^{2}+1\right) \cdot \ln x \, dx = \ln x \left(\frac{x^3}{3} + x\right) - \left(\frac{x^3}{9} + x\right) + C \) b) \( \int \frac{x^{2} \cdot \cos x - \sqrt[3]{x} + 5 \cdot x}{4 \cdot x^{2}} \, dx = \frac{1}{4} \sin x + \frac{3}{8} x^{-\frac{2}{3}} + \frac{5}{4} \ln |x| + C \)