Question
upstudy study bank question image url

(5) En un triángulo \( A B C \) recto en \( B \), se sabe que \( B C=65 y \cos \wedge=\frac{84}{85} \). Determine el perimetro del tríngulo.

Ask by Dawson Lane. in Peru
Mar 14,2025

Upstudy AI Solution

Tutor-Verified Answer

Answer

El perímetro del triángulo es 910 unidades.

Solution

Sign in to Unlock Answers for Free!

A Learning Platform Trusted by Millions of Real Students and Teachers.

star-icon Unlock

Answered by UpStudy AI and reviewed by a Professional Tutor

The Deep Dive

Para resolver este problema, primero tenemos que utilizar la información dada para determinar las longitudes de los lados del triángulo. Dado que en un triángulo rectángulo se cumplen las relaciones trigonométricas, podemos calcular el otro cateto \( AB \) utilizando el coseno: \[ \cos(\angle A) = \frac{AB}{AC} \] Sabemos que \( \cos(\angle A) = \frac{84}{85} \) y que \( BC = 65 \) (es decir, \( a = BC \)), que es el cateto opuesto al ángulo \( A \). De la relación de los catetos podemos utilizar el teorema de Pitágoras para encontrar \( AC \): \[ AC = \frac{AB}{\cos(\angle A)} \] Pero primero necesitamos encontrar \( AB \). Utilizamos la relación \( \sin(\angle A) = \frac{BC}{AC} \): \[ \sin(\angle A) = \sqrt{1 - \cos^2(\angle A)} = \sqrt{1 - \left(\frac{84}{85}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{7056}{7225}} = \sqrt{\frac{169}{7225}} = \frac{13}{85} \] Dado que sabemos que \( B C = 65 \), podemos usar esto para hallar \( AC \): \[ AC = \frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{65}{\frac{13}{85}} = 65 \times \frac{85}{13} = 65 \times 6.538 = 424.5 \] Ahora, podemos calcular \( AB \) usando \( \cos \): \[ AB = AC \cdot \cos(\angle A) = 424.5 \cdot \frac{84}{85} = 424.5 \cdot 0.9882 = 419.4 \] Finalmente, puedes calcular el perímetro del triángulo sumando sus lados \( AB + BC + AC \): \[ Perímetro = AB + BC + AC = 419.4 + 65 + 424.5 = 908.9 \] Por lo tanto, el perímetro del triángulo \( A B C \) es aproximadamente \( 909 \) unidades.

Related Questions

Try Premium now!
Try Premium and ask Thoth AI unlimited math questions now!
Maybe later Go Premium
Study can be a real struggle
Why not UpStudy it?
Select your plan below
Premium

You can enjoy

Start now
  • Step-by-step explanations
  • 24/7 expert live tutors
  • Unlimited number of questions
  • No interruptions
  • Full access to Answer and Solution
  • Full Access to PDF Chat, UpStudy Chat, Browsing Chat
Basic

Totally free but limited

  • Limited Solution
Welcome to UpStudy!
Please sign in to continue the Thoth AI Chat journey
Continue with Email
Or continue with
By clicking “Sign in”, you agree to our Terms of Use & Privacy Policy