(5) En un triángulo \( A B C \) recto en \( B \), se sabe que \( B C=65 y \cos \wedge=\frac{84}{85} \). Determine el perimetro del tríngulo.

Para resolver este problema, primero tenemos que utilizar la información dada para determinar las longitudes de los lados del triángulo. Dado que en un triángulo rectángulo se cumplen las relaciones trigonométricas, podemos calcular el otro cateto \( AB \) utilizando el coseno: \[ \cos(\angle A) = \frac{AB}{AC} \] Sabemos que \( \cos(\angle A) = \frac{84}{85} \) y que \( BC = 65 \) (es decir, \( a = BC \)), que es el cateto opuesto al ángulo \( A \). De la relación de los catetos podemos utilizar el teorema de Pitágoras para encontrar \( AC \): \[ AC = \frac{AB}{\cos(\angle A)} \] Pero primero necesitamos encontrar \( AB \). Utilizamos la relación \( \sin(\angle A) = \frac{BC}{AC} \): \[ \sin(\angle A) = \sqrt{1 - \cos^2(\angle A)} = \sqrt{1 - \left(\frac{84}{85}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{7056}{7225}} = \sqrt{\frac{169}{7225}} = \frac{13}{85} \] Dado que sabemos que \( B C = 65 \), podemos usar esto para hallar \( AC \): \[ AC = \frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{65}{\frac{13}{85}} = 65 \times \frac{85}{13} = 65 \times 6.538 = 424.5 \] Ahora, podemos calcular \( AB \) usando \( \cos \): \[ AB = AC \cdot \cos(\angle A) = 424.5 \cdot \frac{84}{85} = 424.5 \cdot 0.9882 = 419.4 \] Finalmente, puedes calcular el perímetro del triángulo sumando sus lados \( AB + BC + AC \): \[ Perímetro = AB + BC + AC = 419.4 + 65 + 424.5 = 908.9 \] Por lo tanto, el perímetro del triángulo \( A B C \) es aproximadamente \( 909 \) unidades.