(5) En un triángulo \( A B C \) recto en \( B \), se sabe que \( B C=65 y \cos \wedge=\frac{84}{85} \). Determine el perimetro del tríngulo.

1. Sea \( \triangle ABC \) recto en \( B \). Entonces, los catetos son \( AB \) y \( BC \) y la hipotenusa es \( AC \). 2. Supongamos que el ángulo para el que se da el coseno es el ángulo \( A \). Entonces se tiene: \[ \cos A = \frac{AB}{AC} = \frac{84}{85} \] 3. Además, en un triángulo rectángulo, el seno del ángulo \( A \) es: \[ \sin A = \frac{\text{cateto opuesto a } A}{AC} = \frac{BC}{AC} \] Dado que \( BC = 65 \), se tiene: \[ \sin A = \frac{65}{AC} \] 4. Utilizando la identidad pitagórica: \[ \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \] sustituimos \( \cos A = \frac{84}{85} \): \[ \sin^2 A = 1 - \left(\frac{84}{85}\right)^2 = 1 - \frac{7056}{7225} = \frac{7225 - 7056}{7225} = \frac{169}{7225} \] por lo que: \[ \sin A = \frac{13}{85} \] (se elige el signo positivo ya que el ángulo es agudo). 5. Igualando las expresiones de \( \sin A \): \[ \frac{65}{AC} = \frac{13}{85} \] Despejamos \( AC \): \[ AC = 65 \times \frac{85}{13} \] 6. Simplificamos: \[ \frac{65}{13} = 5 \quad \Longrightarrow \quad AC = 5 \times 85 = 425 \] 7. Calculemos \( AB \) usando la relación de \( \cos A \): \[ \cos A = \frac{AB}{AC} \quad \Longrightarrow \quad AB = AC \times \frac{84}{85} = 425 \times \frac{84}{85} \] Simplificamos: \[ \frac{425}{85} = 5 \quad \Longrightarrow \quad AB = 5 \times 84 = 420 \] 8. Finalmente, el perímetro del triángulo es la suma de sus lados: \[ \text{Perímetro} = AB + BC + AC = 420 + 65 + 425 = 910 \] El perímetro del triángulo es \( \boxed{910} \).