5. Докажите равенство: 1) $$ \cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{4 \pi}{7} \cos \frac{5 \pi}{7}=\frac{1}{8} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

$$
\begin{aligned}
\textbf{Шаг 1. Преобразование углов.}
\end{aligned}
$$

Заметим, что для любого угла $$\theta$$ выполнено равенство
$$
\cos(\pi-\theta)=-\cos\theta.
$$
Применим его к углам $$\frac{4\pi}{7}$$ и $$\frac{5\pi}{7}$$:
$$
\cos \frac{4\pi}{7}=\cos\left(\pi-\frac{3\pi}{7}\right)=-\cos \frac{3\pi}{7},
$$
$$
\cos \frac{5\pi}{7}=\cos\left(\pi-\frac{2\pi}{7}\right)=-\cos \frac{2\pi}{7}.
$$
Тогда исходное выражение принимает вид
$$
\cos \frac{\pi}{7}\cos \frac{4\pi}{7}\cos \frac{5\pi}{7} = \cos \frac{\pi}{7}\cdot (-\cos \frac{3\pi}{7})\cdot (-\cos \frac{2\pi}{7}) = \cos \frac{\pi}{7}\cos \frac{2\pi}{7}\cos \frac{3\pi}{7}.
$$

$$
\begin{aligned}
\textbf{Шаг 2. Применение формулы преобразования произведения в сумму.}
\end{aligned}
$$

Начнём с преобразования произведения $$\cos \frac{\pi}{7}\cos \frac{2\pi}{7}$$ по формуле
$$
2\cos A\cos B=\cos (A+B)+\cos (A-B).
$$
Подставляя $$A=\frac{\pi}{7}$$ и $$B=\frac{2\pi}{7}$$, получим
$$
2\cos \frac{\pi}{7}\cos \frac{2\pi}{7}=\cos \frac{3\pi}{7}+\cos \frac{\pi}{7}.
$$
Отсюда:
$$
\cos \frac{\pi}{7}\cos \frac{2\pi}{7}=\frac{1}{2}\left[\cos \frac{3\pi}{7}+\cos \frac{\pi}{7}\right].
$$
Умножим данное равенство на $$\cos \frac{3\pi}{7}$$:
$$
\cos \frac{\pi}{7}\cos \frac{2\pi}{7}\cos \frac{3\pi}{7}=\frac{1}{2}\left[\cos^2 \frac{3\pi}{7}+\cos \frac{\pi}{7}\cos \frac{3\pi}{7}\right].
$$

$$
\begin{aligned}
\textbf{Шаг 3. Преобразование каждого слагаемого.}
\end{aligned}
$$

Первое слагаемое можно записать через двойной угол по формуле
$$
\cos^2\theta=\frac{1+\cos 2\theta}{2}.
$$
При $$\theta=\frac{3\pi}{7}$$ получаем:
$$
\cos^2\frac{3\pi}{7}=\frac{1+\cos \frac{6\pi}{7}}{2}.
$$

Второе слагаемое преобразуем, снова используя формулу для произведения косинусов:
$$
\cos \frac{\pi}{7}\cos \frac{3\pi}{7}=\frac{1}{2}\left[\cos \left(\frac{\pi}{7}+\frac{3\pi}{7}\right)+\cos \left(\frac{\pi}{7}-\frac{3\pi}{7}\right)\right]=\frac{1}{2}\left[\cos \frac{4\pi}{7}+\cos \left(-\frac{2\pi}{7}\right)\right].
$$
Так как $$\cos(-\theta)=\cos \theta$$, имеем:
$$
\cos \frac{\pi}{7}\cos \frac{3\pi}{7}=\frac{1}{2}\left[\cos \frac{4\pi}{7}+\cos \frac{2\pi}{7}\right].
$$

Подставим полученные результаты в выражение для $$P$$:
$$
\begin{aligned}
P &= \cos \frac{\pi}{7}\cos \frac{2\pi}{7}\cos \frac{3\pi}{7} \
  &= \frac{1}{2}\left[\frac{1+\cos \frac{6\pi}{7}}{2}+\frac{\cos \frac{4\pi}{7}+\cos \frac{2\pi}{7}}{2}\right] \
  &= \frac{1}{4}\left[1+\cos \frac{6\pi}{7}+\cos \frac{4\pi}{7}+\cos \frac{2\pi}{7}\right].
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
\textbf{Шаг 4. Использование известной тригонометрической суммы.}
\end{aligned}
$$

Известно, что сумма косинусов при данных углах равна
$$
\cos \frac{2\pi}{7}+\cos \frac{4\pi}{7}+\cos \frac{6\pi}{7}=-\frac{1}{2}.
$$
Тогда
$$
1+\cos \frac{6\pi}{7}+\cos \frac{4\pi}{7}+\cos \frac{2\pi}{7}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.
$$
Подставляем это равенство:
$$
P=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{8}.
$$

$$
\begin{aligned}
\textbf{Вывод.}
\end{aligned}
$$

Мы получили, что
$$
\cos \frac{\pi}{7}\cos \frac{4\pi}{7}\cos \frac{5\pi}{7}=\cos \frac{\pi}{7}\cos \frac{2\pi}{7}\cos \frac{3\pi}{7}=\frac{1}{8}.
$$
$$ \cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7} \cos \frac{5\pi}{7} = \frac{1}{8} $$

5. Докажите равенство: 1) \( \cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{4 \pi}{7} \cos \frac{5 \pi}{7}=\frac{1}{8} \)

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Mind Expander

Related Questions

Latest Trigonometry Questions