5. Докажите равенство: 1) \( \cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{4 \pi}{7} \cos \frac{5 \pi}{7}=\frac{1}{8} \)

\[ \begin{aligned} \textbf{Шаг 1. Преобразование углов.} \end{aligned} \] Заметим, что для любого угла \(\theta\) выполнено равенство \[ \cos(\pi-\theta)=-\cos\theta. \] Применим его к углам \(\frac{4\pi}{7}\) и \(\frac{5\pi}{7}\): \[ \cos \frac{4\pi}{7}=\cos\left(\pi-\frac{3\pi}{7}\right)=-\cos \frac{3\pi}{7}, \] \[ \cos \frac{5\pi}{7}=\cos\left(\pi-\frac{2\pi}{7}\right)=-\cos \frac{2\pi}{7}. \] Тогда исходное выражение принимает вид \[ \cos \frac{\pi}{7}\cos \frac{4\pi}{7}\cos \frac{5\pi}{7} = \cos \frac{\pi}{7}\cdot (-\cos \frac{3\pi}{7})\cdot (-\cos \frac{2\pi}{7}) = \cos \frac{\pi}{7}\cos \frac{2\pi}{7}\cos \frac{3\pi}{7}. \] \[ \begin{aligned} \textbf{Шаг 2. Применение формулы преобразования произведения в сумму.} \end{aligned} \] Начнём с преобразования произведения \(\cos \frac{\pi}{7}\cos \frac{2\pi}{7}\) по формуле \[ 2\cos A\cos B=\cos (A+B)+\cos (A-B). \] Подставляя \(A=\frac{\pi}{7}\) и \(B=\frac{2\pi}{7}\), получим \[ 2\cos \frac{\pi}{7}\cos \frac{2\pi}{7}=\cos \frac{3\pi}{7}+\cos \frac{\pi}{7}. \] Отсюда: \[ \cos \frac{\pi}{7}\cos \frac{2\pi}{7}=\frac{1}{2}\left[\cos \frac{3\pi}{7}+\cos \frac{\pi}{7}\right]. \] Умножим данное равенство на \(\cos \frac{3\pi}{7}\): \[ \cos \frac{\pi}{7}\cos \frac{2\pi}{7}\cos \frac{3\pi}{7}=\frac{1}{2}\left[\cos^2 \frac{3\pi}{7}+\cos \frac{\pi}{7}\cos \frac{3\pi}{7}\right]. \] \[ \begin{aligned} \textbf{Шаг 3. Преобразование каждого слагаемого.} \end{aligned} \] Первое слагаемое можно записать через двойной угол по формуле \[ \cos^2\theta=\frac{1+\cos 2\theta}{2}. \] При \(\theta=\frac{3\pi}{7}\) получаем: \[ \cos^2\frac{3\pi}{7}=\frac{1+\cos \frac{6\pi}{7}}{2}. \] Второе слагаемое преобразуем, снова используя формулу для произведения косинусов: \[ \cos \frac{\pi}{7}\cos \frac{3\pi}{7}=\frac{1}{2}\left[\cos \left(\frac{\pi}{7}+\frac{3\pi}{7}\right)+\cos \left(\frac{\pi}{7}-\frac{3\pi}{7}\right)\right]=\frac{1}{2}\left[\cos \frac{4\pi}{7}+\cos \left(-\frac{2\pi}{7}\right)\right]. \] Так как \(\cos(-\theta)=\cos \theta\), имеем: \[ \cos \frac{\pi}{7}\cos \frac{3\pi}{7}=\frac{1}{2}\left[\cos \frac{4\pi}{7}+\cos \frac{2\pi}{7}\right]. \] Подставим полученные результаты в выражение для \(P\): \[ \begin{aligned} P &= \cos \frac{\pi}{7}\cos \frac{2\pi}{7}\cos \frac{3\pi}{7} \\ &= \frac{1}{2}\left[\frac{1+\cos \frac{6\pi}{7}}{2}+\frac{\cos \frac{4\pi}{7}+\cos \frac{2\pi}{7}}{2}\right] \\ &= \frac{1}{4}\left[1+\cos \frac{6\pi}{7}+\cos \frac{4\pi}{7}+\cos \frac{2\pi}{7}\right]. \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \textbf{Шаг 4. Использование известной тригонометрической суммы.} \end{aligned} \] Известно, что сумма косинусов при данных углах равна \[ \cos \frac{2\pi}{7}+\cos \frac{4\pi}{7}+\cos \frac{6\pi}{7}=-\frac{1}{2}. \] Тогда \[ 1+\cos \frac{6\pi}{7}+\cos \frac{4\pi}{7}+\cos \frac{2\pi}{7}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}. \] Подставляем это равенство: \[ P=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{8}. \] \[ \begin{aligned} \textbf{Вывод.} \end{aligned} \] Мы получили, что \[ \cos \frac{\pi}{7}\cos \frac{4\pi}{7}\cos \frac{5\pi}{7}=\cos \frac{\pi}{7}\cos \frac{2\pi}{7}\cos \frac{3\pi}{7}=\frac{1}{8}. \]