Exercice 2 : Géométrie dans l'espace (5 points ) L'espace \( \boldsymbol{\varepsilon} \) est muni d'un repère orthonormé \( (\boldsymbol{O} ; \overrightarrow{\boldsymbol{i}}, \overrightarrow{\boldsymbol{j}}, \overrightarrow{\boldsymbol{k}}) \). On considère les points \( \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \) et \( \boldsymbol{C} \) de coordonnées respectives \( (\mathbf{1} ; \mathbf{0} ; \mathbf{2}),(\mathbf{1} ; \mathbf{1} ; \mathbf{4}) \) et \( (-\mathbf{1} ; \mathbf{1} ; \mathbf{1}) \). 1. a) Démontrer que les points \( \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \) et \( \boldsymbol{C} \) définissent un plan. b) Soit \( \vec{n} \) le vecteur de coordonnées \( (3 ; 4 ;-2) \). Vérifier que le vecteur \( \vec{n} \) est orthogonal aux vecteurs \( \overrightarrow{A B} \) et \( \overrightarrow{A C} \). En déduire une équation du plan (ABC). 2. Soit \( \left(P_{1}\right) \) et \( \left(P_{2}\right) \) les plans d'équations respectives : \[ 2 x+y+2 z+1=0 \text { et } x-2 y+6 z=0 \] a) Prouver que les plans \( \left(P_{1}\right) \) et \( \left(P_{2}\right) \) sont sécants suivant une droite ( \( \left.\boldsymbol{\Delta}\right) \) dont on donnera un système d'équations paramétriques. b) La droite ( \( \Delta \) ) et le plan ( ABC ) sont-ils parallèles ? 3. Soit \( t \) un nombre réel positif quelconque. On considère le barycentre \( \boldsymbol{G} \) des points \( \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \) et \( \boldsymbol{C} \) affectés des coefficients \( \mathbf{1}, 2 \) et \( \boldsymbol{t} \). a) Justifier l'existence du barycentre \( \boldsymbol{G} \) pour toute valeur de \( \boldsymbol{t} \). b) Soit \( I \) barycentre de \( (A ; 1) \) et \( (B ; 2) \). Déterminer les coordonnées du point \( \boldsymbol{I} \). c) Exprimer le vecteur \( \overrightarrow{I G} \) en fonction de \( \overrightarrow{I C} \). d) Démontrer que l'ensemble des points \( G \) lorsque \( t \) décrit \( \mathbf{R}_{+} \)est le segment [IC] privé de \( C \). e) Pour quelle valeur de \( t \), le milieu \( J \) du segment \( [I C] \) coincide \( t \)-il avec \( G \) ?

Pour résoudre cet exercice de géométrie dans l'espace, nous allons procéder étape par étape. ### 1. a) Démontrer que les points \( \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \) et \( \boldsymbol{C} \) définissent un plan. Pour montrer que les points \( \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \) et \( \boldsymbol{C} \) définissent un plan, nous devons vérifier que les vecteurs \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{AC} \) ne sont pas colinéaires. Calculons les vecteurs : \[ \overrightarrow{AB} = \boldsymbol{B} - \boldsymbol{A} = (1 - 1, 1 - 0, 4 - 2) = (0, 1, 2) \] \[ \overrightarrow{AC} = \boldsymbol{C} - \boldsymbol{A} = (-1 - 1, 1 - 0, 1 - 2) = (-2, 1, -1) \] Pour vérifier que ces vecteurs ne sont pas colinéaires, nous pouvons calculer le déterminant de la matrice formée par ces vecteurs : \[ D = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 \\ -2 & 1 & -1 \\ \end{vmatrix} \] Calculons ce déterminant : \[ D = 0 \cdot (1 \cdot (-1) - 2 \cdot 1) - 1 \cdot (0 \cdot (-1) - 2 \cdot (-2)) + 2 \cdot (0 \cdot 1 - 1 \cdot (-2)) \] \[ D = 0 - 1 \cdot 4 + 2 \cdot 2 = -4 + 4 = 0 \] Le déterminant est nul, ce qui signifie que les vecteurs \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{AC} \) sont colinéaires. Cependant, pour prouver que les points définissent un plan, nous devons vérifier que les trois points ne sont pas alignés. Nous allons donc calculer le produit vectoriel \( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \). Calculons le produit vectoriel : \[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ 0 & 1 & 2 \\ -2 & 1 & -1 \end{vmatrix} \] Calculons ce déterminant : \[ = \overrightarrow{i} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} - \overrightarrow{j} \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} + \overrightarrow{k} \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} \] Calculons chaque déterminant : \[ = \overrightarrow{i} (1 \cdot (-1) - 2 \cdot 1) - \overrightarrow{j} (0 \cdot (-1) - 2 \cdot (-2)) + \overrightarrow{k} (0 \cdot 1 - 1 \cdot (-2)) \] \[ = \overrightarrow{i} (-1 - 2) - \overrightarrow{j} (0 + 4) + \overrightarrow{k} (0 + 2) \] \[ = -3\overrightarrow{i} - 4\overrightarrow{j} + 2\overrightarrow{k} \] Le produit vectoriel est non nul, donc les points \( \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \) et \( \boldsymbol{C} \) définissent un plan. ### 1. b) Vérifier que le vecteur \( \vec{n} \) est orthogonal aux vecteurs \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{AC} \). Pour vérifier que \( \vec{n} = (3, 4, -2) \) est orthogonal à \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{AC} \), nous devons vérifier que le produit scalaire est nul. Calculons le produit scalaire \( \vec{n} \cdot \overrightarrow{AB} \) : \[ \vec{n} \cdot \overrightarrow{AB} = (3, 4, -2) \cdot (0, 1, 2) = 3 \cdot 0 + 4 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 = 0 + 4 - 4 = 0 \] Calculons maintenant le produit scalaire \( \vec{n} \cdot \overrightarrow{AC} \) : \[ \vec{n} \cdot \overrightarrow{AC} = (3, 4, -2) \cdot (-2, 1, -1) = 3 \cdot (-2) + 4 \cdot 1 + (-2) \cdot (-1) = -6 + 4 + 2 = 0 \] Les deux produits scalaires sont nuls, donc \( \vec{n} \) est orthogonal à \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{AC} \). L'équation du plan (ABC) peut être écrite sous la forme : \[ 3(x - 1) + 4(y - 0) - 2(z - 2) = 0 \] Ce qui se simplifie en : \[ 3x + 4y - 2z - 3 = 0 \] ### 2. a) Prouver que les plans \( \left(P_{1}\right) \) et \( \left(P_{2}\right) \) sont sécants suivant une droite. Les équations des plans sont : \[ P_1 : 2x + y + 2z + 1 = 0 \] \[ P_2 : x - 2y + 6z = 0 \] Pour prouver qu'ils sont sécants, nous allons résoudre le système d'équations : \[ \begin{cases} 2x + y + 2z + 1 = 0 \\ x - 2y + 6z = 0 \end{cases} \] Nous allons exprimer \( y \) et \( z \) en fonction de \( x \). De la deuxième équation, nous avons : \[ y = \frac{x + 6z}{2}